Упр.1033 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1033. Вычислить tg(a + b), sina=4/5, pi/2 < a < pi, cosb=8/17, 3pi/2 < b < 2pi

Подробный ответ

Найдём недостающие значения тригонометрических функций.

Так как $$\frac{\pi}{2} < a < \pi,$$ то угол $$a$$ лежит во II четверти, значит $$\cos a < 0.$$ Тогда

$$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{16}{25}} =-\sqrt{\frac{9}{25}} =-\frac35. $$

Так как $$\frac{3\pi}{2} < b < 2\pi,$$ то угол $$b$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin b < 0.$$ Тогда

$$ \sin b=-\sqrt{1-\cos^2 b} =-\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}} =-\sqrt{\frac{225}{289}} =-\frac{15}{17}. $$

Теперь найдём тангенсы:

$$ \tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{4/5}{-3/5} =-\frac43, \qquad \tg b=\frac{\sin b}{\cos b} =\frac{-15/17}{8/17} =-\frac{15}{8}. $$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\,\tg b}. $$

Подставим значения:

$$ \tg(a+b)=\frac{-\frac43-\frac{15}{8}}{1-\left(-\frac43\right)\left(-\frac{15}{8}\right)} =\frac{-\frac{32}{24}-\frac{45}{24}}{1-\frac{60}{24}} =\frac{-\frac{77}{24}}{-\frac{36}{24}} =\frac{77}{36} =2\frac{5}{36}. $$