Упр.1031 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1031. Вычислить cos(a + b) и cos(a-b), если sina=-3/5 3/2pi < a < 2pi, sinb=8/17 0 < b < pi/2

Подробный ответ

Так как $$\sin a=-\frac{3}{5}$$ и $$\frac{3\pi}{2}

$$\cos a=\sqrt{1-\sin^2 a}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Так как $$\sin b=\frac{8}{17}$$ и $$0<b<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$b$$ лежит в I четверти, значит $$\cos b>0$$:

$$\cos b=\sqrt{1-\sin^2 b}=\sqrt{1-\frac{64}{289}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}.$$

Теперь используем формулы суммы и разности косинусов:

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,$$

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Вычислим:

$$ \cos(a+b)=\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{17}-\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{8}{17} =\frac{60}{85}+\frac{24}{85} =\frac{84}{85}. $$

$$ \cos(a-b)=\frac{4}{5}\cdot\frac{15}{17}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{8}{17} =\frac{60}{85}-\frac{24}{85} =\frac{36}{85}. $$