Упр.103 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, не больше половины гипотенузы. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 103 1012

Пусть в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, а $$CH$$ — высота, проведённая к гипотенузе $$AB$$.

Тогда для высоты к гипотенузе верно:

$$CH^2=AH\cdot HB.$$

Следовательно,

$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}.$$

Применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\sqrt{AH\cdot HB}\le \frac{AH+HB}{2}.$$

Но $$AH+HB=AB$$, значит

$$CH\le \frac{AB}{2}.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$CH\le \frac{AB}{2}.$$