Упр.1029 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin(a+pi/6), если cosa=-3/5 и pi < a < 3pi/2 2) sin(pi/4-а), если sina=v2/3 и pi/2 < a < pi

1. $$\cos a=-\frac{3}{5}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как угол $$a$$ лежит в III четверти, то $$\sin a<0$$. Найдём синус:

   $$ \sin a=-\sqrt{1-\cos^2 a} =-\sqrt{1-\frac{9}{25}} =-\sqrt{\frac{16}{25}} =-\frac{4}{5}. $$

   Используем формулу суммы:

   $$ \sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right)=\sin a\cdot\cos\frac{\pi}{6}+\cos a\cdot\sin\frac{\pi}{6}. $$

   Подставим значения:

   $$ \sin\left(a+\frac{\pi}{6}\right) =-\frac{4}{5}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{1}{2} =-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}. $$

2. $$\sin a=\frac{\sqrt{2}}{3}, \quad \frac{\pi}{2}<a<\pi.$$

   Так как угол $$a$$ лежит во II четверти, то $$\cos a<0$$. Найдём косинус:

   $$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\frac{2}{9}} =-\sqrt{\frac{7}{9}} =-\frac{\sqrt{7}}{3}. $$

   Используем формулу разности:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos a-\cos\frac{\pi}{4}\cdot\sin a. $$

   Подставим значения:

   $$ \sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right) =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) -\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3} =-\frac{\sqrt{14}}{6}-\frac{1}{3} =-\frac{\sqrt{14}+2}{6}. $$

Ответ

1) $$-\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$$; 2) $$-\frac{\sqrt{14}+2}{6}$$.