Упр.1026 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) cos(пи/3+а), если sina = 1/v3 и 0 < а < пи/2; 2) cos(a - пи/4), если cosa = -1/3 и пи/2 < a < пи,

Подробный ответ

1) Найдём значение $$\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right)$$, если $$\sin a=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2}$$.

Так как $$a$$ — острый угол, то $$\cos a>0$$:

$$ \cos a=\sqrt{1-\sin^2 a} =\sqrt{1-\frac{1}{3}} =\sqrt{\frac{2}{3}} =\frac{\sqrt{6}}{3}. $$

Используем формулу суммы:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\cos\frac{\pi}{3}\cos a-\sin\frac{\pi}{3}\sin a. $$

Подставим значения:

$$ \cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} =\frac{\sqrt{6}}{6}-\frac{1}{2} =\frac{\sqrt{6}-3}{6}. $$

2) Найдём значение $$\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\cos a=-\frac{1}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi$$.

Так как $$a$$ — угол II четверти, то $$\sin a>0$$:

$$ \sin a=\sqrt{1-\cos^2 a} =\sqrt{1-\frac{1}{9}} =\sqrt{\frac{8}{9}} =\frac{2\sqrt{2}}{3}. $$

Используем формулу разности:

$$ \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right) =\cos a\cos\frac{\pi}{4}+\sin a\sin\frac{\pi}{4}. $$

Подставим значения:

$$ \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} +\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{2}{3} =\frac{4-\sqrt{2}}{6}. $$