Упр.1020 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos a * sin(6пи — a) • (1 + ctg^2(-a)) = ctg(-a);
2) (1 — sin^2(-a)/(cos(4пи-а))*(sin(a -2пи)/(1-cos^2(-a))=ctga

1)

$$ \cos a \cdot \sin(6\pi-a)\cdot \left(1+\ctg^2(-a)\right) $$
$$ =\cos a \cdot \sin(-a)\cdot \left(1+(-\ctg a)^2\right) $$
$$ =\cos a \cdot (-\sin a)\cdot \left(1+\ctg^2 a\right) $$
$$ =-\cos a \cdot \sin a \cdot \left(1+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\right) $$
$$ =-\cos a \cdot \sin a \cdot \frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a} $$
$$ =-\cos a \cdot \sin a \cdot \frac{1}{\sin^2 a} =-\frac{\cos a}{\sin a} =-\ctg a. $$

Так как $$\ctg(-a)=-\ctg a,$$ то

$$ \cos a \cdot \sin(6\pi-a)\cdot \left(1+\ctg^2(-a)\right)=\ctg(-a). $$

2)

$$ \frac{1-\sin^2(-a)}{\cos(4\pi-a)}\cdot \frac{\sin(a-2\pi)}{1-\cos^2(-a)} $$
$$ =\frac{1-\sin^2 a}{\cos a}\cdot \frac{\sin a}{1-\cos^2 a} $$
$$ =\frac{\cos^2 a}{\cos a}\cdot \frac{\sin a}{\sin^2 a} =\cos a \cdot \frac{1}{\sin a} =\ctg a. $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\ctg(-a)$$;
2) $$\ctg a$$.