Упр.102 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 12 и 3;
2) 0,6 и 5,4;
3) 7/8 и 3*1/2;
4) 1/3 и 0,03.
Выяснить, в каком случае среднее арифметическое двух положительных чисел равно их среднему геометрическому.

1. Для чисел $$12$$ и $$3$$:

   Среднее арифметическое:

   $$\frac{12+3}{2}=\frac{15}{2}=7{,}5$$

   Среднее геометрическое:

   $$\sqrt{12\cdot 3}=\sqrt{36}=6$$

2. Для чисел $$0{,}6$$ и $$5{,}4$$:

   Среднее арифметическое:

   $$\frac{0{,}6+5{,}4}{2}=\frac{6}{2}=3$$

   Среднее геометрическое:

   $$\sqrt{0{,}6\cdot 5{,}4}=\sqrt{3{,}24}=1{,}8$$

3. Для чисел $$\frac{7}{8}$$ и $$3\frac{1}{2}$$:

   $$3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$$

   Среднее арифметическое:

   $$\frac{\frac{7}{8}+\frac{7}{2}}{2}=\frac{\frac{7}{8}+\frac{28}{8}}{2}=\frac{\frac{35}{8}}{2}=\frac{35}{16}$$

   Среднее геометрическое:

   $$\sqrt{\frac{7}{8}\cdot \frac{7}{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}$$

4. Для чисел $$\frac{1}{3}$$ и $$0{,}03$$:

   $$0{,}03=\frac{3}{100}$$

   Среднее арифметическое:

   $$\frac{\frac{1}{3}+0{,}03}{2}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{3}{100}}{2}=\frac{\frac{109}{300}}{2}=\frac{109}{600}$$

   Среднее геометрическое:

   $$\sqrt{\frac{1}{3}\cdot 0{,}03}=\sqrt{\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}=0{,}1$$

Пусть $$x$$ и $$y$$ — положительные числа. Тогда их среднее арифметическое равно среднему геометрическому, если

$$\frac{x+y}{2}=\sqrt{xy}$$

$$x+y=2\sqrt{xy}$$

$$x^2+2xy+y^2=4xy$$

$$x^2-2xy+y^2=0$$

$$\left(x-y\right)^2=0$$

$$x=y$$

Значит, среднее арифметическое двух положительных чисел равно их среднему геометрическому только тогда, когда числа равны.

Ответ

1) $$7{,}5$$ и $$6$$; 2) $$3$$ и $$1{,}8$$; 3) $$\frac{35}{16}$$ и $$\frac{7}{4}$$; 4) $$\frac{109}{600}$$ и $$0{,}1$$. Средние арифметическое и геометрическое равны, если числа равны.