Упр.1015 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$\sin^3 a(1+\ctg a)+\cos^3 a(1+\tg a)$$
   $$=\sin^3 a\left(1+\frac{\cos a}{\sin a}\right)+\cos^3 a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)$$
   $$=\sin^3 a+\sin^2 a\cos a+\cos^3 a+\cos^2 a\sin a$$
   $$=\sin^2 a(\sin a+\cos a)+\cos^2 a(\cos a+\sin a)$$
   $$=(\sin^2 a+\cos^2 a)(\sin a+\cos a)=\sin a+\cos a.$$

   Тождество доказано.

2. $$1-(\sin^6 a+\cos^6 a)$$
   $$=1-(\sin^2 a+\cos^2 a)(\sin^4 a-\sin^2 a\cos^2 a+\cos^4 a)$$
   $$=1-(\sin^2 a+\cos^2 a)^3+3\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a)$$
   $$=1-(\sin^2 a+\cos^2 a)^2+3\sin^2 a\cos^2 a$$
   $$=1-(1-3\sin^2 a\cos^2 a)=3\sin^2 a\cos^2 a.$$

   Тождество доказано.

3. $$\sqrt{\frac{1+\sin a}{1-\sin a}}-\sqrt{\frac{1-\sin a}{1+\sin a}}$$
   $$=\frac{(\sqrt{1+\sin a})^2-(\sqrt{1-\sin a})^2}{\sqrt{(1-\sin a)(1+\sin a)}}$$
   $$=\frac{(1+\sin a)-(1-\sin a)}{\sqrt{1-\sin^2 a}}$$
   $$=\frac{2\sin a}{\sqrt{\cos^2 a}}.$$

   При $$90^\circ<a<180^\circ$$ имеем $$\cos a<0$$, значит $$\sqrt{\cos^2 a}=-\cos a$$. Тогда

   $$\frac{2\sin a}{\sqrt{\cos^2 a}}=\frac{2\sin a}{-\cos a}=-2\tg a.$$

   Тождество доказано.

4. $$\sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}-\sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}$$
   $$=\frac{(\sqrt{1-\cos a})^2-(\sqrt{1+\cos a})^2}{\sqrt{(1+\cos a)(1-\cos a)}}$$
   $$=\frac{(1-\cos a)-(1+\cos a)}{\sqrt{1-\cos^2 a}}$$
   $$=\frac{-2\cos a}{\sqrt{\sin^2 a}}.$$

   При $$\pi<a<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin a<0$$, значит $$\sqrt{\sin^2 a}=-\sin a$$. Тогда

   $$\frac{-2\cos a}{\sqrt{\sin^2 a}}=\frac{-2\cos a}{-\sin a}=2\ctg a.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin a+\cos a$$;
2) $$3\sin^2 a\cos^2 a$$;
3) $$-2\tg a$$;
4) $$2\ctg a$$.