Упр.1012 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1012. Найти значение выражения tg2a +1/sin a*1/cos a + ctg^2a, если tga + ctga = 5.

Из условия известно, что

$$\tg a+\ctg a=5.$$

Возведём это равенство в квадрат:

$$ (\tg a+\ctg a)^2=5^2 $$

$$ \tg^2 a+2\tg a\cdot \ctg a+\ctg^2 a=25 $$

Так как $$\tg a\cdot \ctg a=1,$$ получаем

$$ \tg^2 a+2+\ctg^2 a=25 $$

$$ \tg^2 a+\ctg^2 a=23. $$

Теперь найдём значение выражения:

$$ \tg^2 a+\frac{1}{\sin a}\cdot \frac{1}{\cos a}+\ctg^2 a $$

Заметим, что

$$ \frac{1}{\sin a\cos a}=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin a\cos a} =\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a} =\tg a+\ctg a. $$

Тогда

$$ \tg^2 a+\frac{1}{\sin a\cos a}+\ctg^2 a =23+5=28. $$

Ответ

28.