Упр.1011 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 2sinx + sin^2x + cos^2x = 1;
2) 2sin^2x + 3cos^2x -2 = 0;
3) 3cos^2x — 2sinx = 3 — 3sin^2x;
4) cos^2x — sin2x = 2sinx — 1 — 2sin^2x.

1. $$2\sin x+\sin^2 x+\cos^2 x=1$$
   $$2\sin x+(\sin^2 x+\cos^2 x)=1$$
   $$2\sin x+1=1$$
   $$2\sin x=0$$
   $$\sin x=0$$
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

2. $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2=0$$
   $$2\sin^2 x+3\cos^2 x-2(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$$
   $$\cos^2 x=0$$
   $$\cos x=0$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

3. $$3\cos^2 x-2\sin x=3-3\sin^2 x$$
   $$3\cos^2 x-2\sin x=3(1-\sin^2 x)$$
   $$3\cos^2 x-2\sin x=3\cos^2 x$$
   $$-2\sin x=0$$
   $$\sin x=0$$
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

4. $$\cos^2 x-\sin 2x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$
   $$\cos^2 x-2\sin x\cos x=2\sin x-1-2\sin^2 x$$
   $$\cos^2 x+2\sin^2 x-2\sin x\cos x-2\sin x+1=0$$
   $$\text{или, используя } \cos^2 x+\sin^2 x=1,\ \ 1=2\sin x-1$$
   $$2\sin x=2$$
   $$\sin x=1$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$