Упр.101 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (1 + a корень a)(a корень a -1) = a3-l, где a > = 0;
2) (корень a/b + корень b/a)2 — 2 = (a2 + b2)/ab, где a > 0, b > 0.

1. $$\left(1+a\sqrt{a}\right)\left(a\sqrt{a}-1\right)$$

   Раскроем скобки по формуле разности квадратов:

   $$\left(a\sqrt{a}\right)^2-1^2=a^2\cdot a-1=a^3-1.$$

   Тождество доказано.

2. $$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2-2$$

   Возведём в квадрат сумму:

   $$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2+2\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{b}{a}}+\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2-2.$$

   Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то

   $$\sqrt{\frac{a}{b}}\sqrt{\frac{b}{a}}=1,$$

   поэтому

   $$\frac{a}{b}+2+\frac{b}{a}-2=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\left(1+a\sqrt{a}\right)\left(a\sqrt{a}-1\right)=a^3-1$$ при $$a\ge 0$$;

2) $$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2-2=\frac{a^2+b^2}{ab}$$ при $$a>0,\ b>0.$$