Упр.1006 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1. $$\left(1+\mathrm{tg}^2 a\right)\cos^2 a-1$$;
2. $$1-\sin^2 a\left(1+\mathrm{ctg}^2 a\right)$$;
3. $$1+\mathrm{tg}^2 a+\frac{1}{\sin^2 a}$$;
4. $$\frac{1+\mathrm{tg}^2 a}{1+\mathrm{ctg}^2 a}$$.

1. $$\left(1+\tg^2 a\right)\cos^2 a-1=\left(1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}\right)\cos^2 a-1$$

   $$=\cos^2 a+\sin^2 a-1=1-1=0.$$

2. $$1-\sin^2 a\left(1+\ctg^2 a\right)=1-\sin^2 a\left(1+\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}\right)$$

   $$=1-\sin^2 a-\cos^2 a=1-1=0.$$

3. $$1+\tg^2 a+\frac{1}{\sin^2 a}=1+\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}$$

   $$=\frac{\cos^2 a+\sin^2 a}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a} =\frac{1}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}$$

   $$=\frac{\sin^2 a+\cos^2 a}{\sin^2 a\cos^2 a} =\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}.$$

4. $$\frac{1+\tg^2 a}{1+\ctg^2 a} =\frac{1+\tg^2 a}{1+\frac{1}{\tg^2 a}}$$

   $$=\frac{1+\tg^2 a}{\frac{\tg^2 a+1}{\tg^2 a}} =\left(1+\tg^2 a\right)\cdot\frac{\tg^2 a}{\tg^2 a+1} =\tg^2 a.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$\frac{1}{\sin^2 a\cos^2 a}$$; 4) $$\tg^2 a$$.