Упр.1001 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) tg^2a + ctg^2a; 2)tga-ctga; 3) tg^3a + ctg^3a.

Обозначим $$tg\,a+ctg\,a=m.$$ Тогда

1. Найдём $$tg^2 a+ctg^2 a$$:

   $$ (tg\,a+ctg\,a)^2=tg^2 a+2\,tg\,a\cdot ctg\,a+ctg^2 a $$
   $$ m^2=tg^2 a+ctg^2 a+2 $$
   так как $$tg\,a\cdot ctg\,a=1.$$ Следовательно,
   $$ tg^2 a+ctg^2 a=m^2-2. $$

2. Найдём $$tg\,a-ctg\,a$$:

   $$ (tg\,a-ctg\,a)^2=tg^2 a-2\,tg\,a\cdot ctg\,a+ctg^2 a $$
   $$ (tg\,a-ctg\,a)^2=(m^2-2)-2=m^2-4 $$
   значит,
   $$ tg\,a-ctg\,a=\pm\sqrt{m^2-4}. $$

3. Найдём $$tg^3 a+ctg^3 a$$:

   $$ tg^3 a+ctg^3 a=(tg\,a+ctg\,a)\bigl(tg^2 a-tg\,a\cdot ctg\,a+ctg^2 a\bigr) $$
   $$ =m\bigl((tg^2 a+ctg^2 a)-1\bigr) $$
   $$ =m\bigl((m^2-2)-1\bigr)=m(m^2-3). $$

Ответ

$$1)\ m^2-2;\quad 2)\ \pm\sqrt{m^2-4};\quad 3)\ m(m^2-3).$$