Упр.1000 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sina-cosa; 2) sin^4a + cos^4a.

Обозначим $$\sin a+\cos a=p.$$ Тогда возведём это равенство в квадрат:

$$ (\sin a+\cos a)^2=p^2 $$

$$ \sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a=p^2 $$

Так как $$\sin^2 a+\cos^2 a=1,$$ получаем

$$ 1+2\sin a\cos a=p^2 $$

$$ 2\sin a\cos a=p^2-1 $$

$$ \sin a\cos a=\frac{p^2-1}{2} $$

1) Найдём $$\sin a-\cos a.$$ Обозначим

$$ \sin a-\cos a=x $$

Тогда

$$ (\sin a-\cos a)^2=x^2 $$

$$ \sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a=x^2 $$

$$ 1-(p^2-1)=x^2 $$

$$ x^2=2-p^2 $$

Следовательно,

$$ \sin a-\cos a=\pm\sqrt{2-p^2} $$

2) Найдём $$\sin^4 a+\cos^4 a.$$ Используем формулу:

$$ \sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a $$

$$ =1-2(\sin a\cos a)^2 $$

Подставим найденное значение:

$$ \sin^4 a+\cos^4 a=1-2\left(\frac{p^2-1}{2}\right)^2 $$

$$ =1-\frac{(p^2-1)^2}{2} $$

$$ =1-\frac{p^4-2p^2+1}{2} =\frac12+p^2-\frac12p^4 $$

Ответ

$$ 1)\ \sin a-\cos a=\pm\sqrt{2-p^2},\qquad 2)\ \sin^4 a+\cos^4 a=\frac12+p^2-\frac12p^4 $$