Упр.99 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=1/(1+sin(2x)); б) y=v(1-cos(4x));
в) y=3/(cos(x)-1); г) y=tg(x)+ctg(x).

1. $$y=\frac{1}{1+\sin 2x}$$

   Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

   $$0\le 1+\sin 2x\le 2.$$

   Значит, при $$1+\sin 2x>0$$ имеем

   $$y=\frac{1}{1+\sin 2x}\ge \frac12.$$

   При этом значение $$y=\frac12$$ достигается, а сверху функция не ограничена.

   Следовательно, область значений:

   $$\left[\frac12;+\infty\right).$$

2. $$y=\sqrt{1-\cos 4x}$$

   Так как $$-1\le \cos 4x\le 1,$$ то

   $$0\le 1-\cos 4x\le 2.$$

   Тогда

   $$0\le y\le \sqrt2.$$

   Следовательно, область значений:

   $$\left[0;\sqrt2\right].$$

3. $$y=\frac{3}{\cos x-1}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-2\le \cos x-1\le 0.$$

   Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому

   $$-2\le \cos x-1<0.$$

   Тогда

   $$y=\frac{3}{\cos x-1}\le -\frac32,$$

   причём значение $$-\frac32$$ достигается при $$\cos x=-1.$$

   Следовательно, область значений:

   $$(-\infty;-\tfrac32].$$

4. $$y=\tg x+\ctg x$$

   Положим $$t=\tg x,$$ тогда $$t\ne 0$$ и

   $$y=t+\frac1t=\frac{t^2+1}{t}.$$

   Рассмотрим модуль:

   $$\left|t+\frac1t\right|\ge 2,$$

   так как для $$t>0$$ по неравенству между средним арифметическим и геометрическим

   $$t+\frac1t\ge 2,$$

   а для $$t<0$$

   $$t+\frac1t\le -2.$$

   Значит, область значений:

   $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

а) $$\left[\frac12;+\infty\right)$$; б) $$\left[0;\sqrt2\right]$$; в) $$(-\infty;-\tfrac32]$$; г) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$