Упр.99 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=x^2-2|x|+1$$
Преобразуем выражение:
$$f(x)=x^2-2|x|+1=(|x|)^2-2|x|+1=(|x|-1)^2.$$
Отсюда $$D(f)=\mathbb{R}, \quad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция чётная.
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=(|0|-1)^2=1,$$
значит, с осью ординат график пересекается в точке $$ (0;1). $$
Для пересечения с осью абсцисс решаем уравнение:
$$ (|x|-1)^2=0 \\ |x|=1 \\ x=\pm 1. $$
Точки пересечения: $$(-1;0)$$ и $$(1;0).$$
Минимум функции равен $$0$$ и достигается при $$x=\pm 1.$$
Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1],$$ возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$
б) $$f(x)=\frac{x+1}{x-1}$$
Область определения:
$$x-1\ne 0,\quad x\ne 1,$$
значит, $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Преобразуем дробь:
$$ \frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}. $$
Отсюда $$E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=\frac{0+1}{0-1}=-1,$$
то есть $$ (0;-1). $$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$ \frac{x+1}{x-1}=0 \\ x+1=0 \\ x=-1. $$
Получаем точку $$(-1;0).$$
Асимптоты: $$x=1$$ — вертикальная, $$y=1$$ — горизонтальная.
Функция убывает на всей области определения.
в) $$f(x)=|x|-x^2$$
Функция чётная, $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Запишем в виде:
$$f(x)=|x|-x^2=\frac14-\left(|x|-\frac12\right)^2.$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;\tfrac14].$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=0,$$
то есть $$ (0;0). $$
Точки пересечения с осью абсцисс:
$$ |x|-x^2=0 \\ |x|=x^2 \\ x=0,\ \pm 1. $$
Получаем точки $$(-1;0),\ (0;0),\ (1;0).$$
Максимум функции:
$$x=\pm \frac12,\qquad f\!\left(\pm \frac12\right)=\frac14.$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-\tfrac12]$$ и $$[0;\tfrac12],$$ убывает на $$[-\tfrac12;0]$$ и $$[\tfrac12;+\infty).$$
г) $$f(x)=\frac{2x+1}{x}$$
Область определения:
$$x\ne 0,$$
значит, $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Преобразуем:
$$ \frac{2x+1}{x}=2+\frac1x. $$
Отсюда $$E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Точки пересечения с осью ординат нет, так как $$x=0$$ не входит в область определения.
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$ \frac{2x+1}{x}=0 \\ 2x+1=0 \\ x=-\frac12. $$
Получаем точку $$\left(-\frac12;0\right).$$
Асимптоты: $$x=0$$ — вертикальная, $$y=2$$ — горизонтальная.
Функция убывает на всей области определения.
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),\ (0;1),\ (-1;0),\ (1;0).$$
б) $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ (0;-1),\ (-1;0),\ x=1,\ y=1.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;\tfrac14],\ (0;0),\ (-1;0),\ (0;0),\ (1;0).$$
г) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),\ \left(-\tfrac12;0\right),\ x=0,\ y=2.$$
