Упр.98 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Найдите все значения a, при которых оба корня уравнения (2a+3)x^2+(a+1)x+4=0 принадлежат отрезку [-2; 0].

а) Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$f(x)=(a-2)x^2-2(a+3)x+4a.$$

По условию один корень больше $$3$$, а другой меньше $$2$$. Значит, точки $$x=2$$ и $$x=3$$ лежат между корнями, поэтому

$$f(2)<0,\qquad f(3)<0,$$

и парабола должна быть направлена вверх:

$$a-2>0.$$

Вычислим:

$$f(2)=4(a-2)-4(a+3)+4a=4a-20,$$

откуда

$$4a-20<0,\qquad a<5.$$

Далее

$$f(3)=9(a-2)-6(a+3)+4a=7a-36,$$

откуда

$$7a-36<0,\qquad a<\frac{36}{7}.$$

Совмещая условия, получаем

$$2<a<5.$$

б) Пусть

$$g(x)=(2a+3)x^2+(a+1)x+4.$$

Чтобы оба корня принадлежали отрезку $$[-2;0]$$, достаточно и необходимо, чтобы

$$g(-2)>0,\qquad g(0)>0,\qquad D\ge 0,$$

а парабола была направлена вверх:

$$2a+3>0.$$

Вычислим:

$$g(-2)=4(2a+3)-2(a+1)+4=6a+14,$$

поэтому

$$6a+14>0,\qquad a>-\frac{7}{3}.$$

Кроме того,

$$g(0)=4>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4(2a+3)\cdot 4=a^2-30a-47.$$

Требуем

$$a^2-30a-47\ge 0.$$

Корни этого квадратного трёхчлена:

$$a=\frac{30\pm\sqrt{900+188}}{2}=\frac{30\pm 8\sqrt{17}}{2}=15\pm 4\sqrt{17}.$$

Значит,

$$a\le 15-4\sqrt{17}\quad \text{или}\quad a\ge 15+4\sqrt{17}.$$

С учётом условия $$2a+3>0$$ остаётся только

$$a\ge 15+4\sqrt{17}.$$

Ответ

а) $$2<a<5$$; б) $$a\ge 15+4\sqrt{17}$$.