Упр.98 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Для каких значений $$a$$ один из корней уравнения $$(a-2)x^2-2(a+3)x+4a=0$$ больше $$3$$, а другой меньше $$2$$?
   б) Найдите все значения $$a$$, при которых оба корня уравнения $$(2a+3)x^2+(a+1)x+4=0$$ принадлежат отрезку $$[-2;0]$$.

а) Обозначим

$$f(x)=(a-2)x^2-2(a+3)x+4a.$$

Чтобы один корень был больше $$3$$, а другой меньше $$2$$, достаточно и необходимо, чтобы парабола пересекала ось $$Ox$$ в двух точках и значения функции в точках $$2$$ и $$3$$ были отрицательны при $$a-2>0$$:

$$f(2)=4(a-2)-4(a+3)+4a=4a-20<0,$$

откуда

$$a<5.$$

Далее

$$f(3)=9(a-2)-6(a+3)+4a=7a-36<0,$$

откуда

$$a<\frac{36}{7}.$$

Кроме того,

$$a-2>0,$$

то есть

$$a>2.$$

Совмещая условия, получаем

$$2<a<5.$$

б) Пусть

$$g(x)=(2a+3)x^2+(a+1)x+4.$$

Чтобы оба корня принадлежали отрезку $$[-2;0]$$, необходимо, чтобы:

1. парабола была направлена вверх: $$2a+3>0$$;
2. значения на концах отрезка были неотрицательны: $$g(-2)\ge 0$$ и $$g(0)\ge 0$$;
3. дискриминант был неотрицателен: $$D\ge 0$$.

Вычислим:

$$g(-2)=4(2a+3)-2(a+1)+4=8a+12-2a-2+4=6a+14\ge 0,$$

откуда

$$a\ge -\frac{7}{3}.$$

Также

$$g(0)=4>0.$$

Дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4(2a+3)\cdot 4=a^2-30a-47\ge 0.$$

Решим неравенство:

$$a^2-30a-47\ge 0.$$

Корни квадратного трёхчлена:

$$a=\frac{30\pm\sqrt{900+188}}{2}=\frac{30\pm\sqrt{1088}}{2}=15\pm 4\sqrt{17}.$$

Тогда

$$a\le 15-4\sqrt{17}\quad \text{или}\quad a\ge 15+4\sqrt{17}.$$

С учётом условия $$2a+3>0$$ получаем

$$a\ge 15+4\sqrt{17}.$$

Ответ

а) $$2<a<5$$;

б) $$a\ge 15+4\sqrt{17}$$.