Упр.98 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.
а) $$f(x)=x^4+4x^2$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=(-x)^4+4(-x)^2=x^4+4x^2=f(x).$$
Найдём нули функции:
$$x^4+4x^2=0$$
$$x^2(x^2+4)=0$$
$$x=0.$$
Значит, график пересекает оси координат в точке $$ (0;0). $$
Так как $$x^4+4x^2=x^2(x^2+4)\ge 0,$$ то $$f(x)>0$$ при $$x\ne 0.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$ (0;+\infty). $$
Минимум достигается при $$x=0$$ и равен $$0.$$
б) $$f(x)=1-\sqrt{x+4}$$
Область определения:
$$x+4\ge 0 \Rightarrow x\ge -4,$$
то есть $$D(f)=[-4;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0,$$ то $$f(x)\le 1,$$ значит
$$E(f)=(-\infty;1].$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=1-\sqrt{4}=-1,$$
то есть точка $$ (0;-1). $$
Пересечение с осью абсцисс:
$$1-\sqrt{x+4}=0$$
$$\sqrt{x+4}=1$$
$$x+4=1$$
$$x=-3.$$
Точка пересечения: $$(-3;0).$$
Функция убывает на всей области определения.
Наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при $$x=-4.$$
в) $$f(x)=x^3+x$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
Пересечение с осью ординат:
$$f(0)=0,$$
то есть точка $$ (0;0). $$
Найдём знак функции:
$$x^3+x=x(x^2+1).$$
Так как $$x^2+1>0$$ при любом $$x,$$ знак функции совпадает со знаком $$x$$:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(0;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0).$$
Проверим возрастание:
если $$x_2>x_1,$$ то
$$ f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3+x_2)-(x_1^3+x_1) =(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1)>0. $$
Значит, функция возрастает на всей области определения.
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-f(x).$$
Точек максимума и минимума нет.
г) $$f(x)=\sqrt{x-2}-2$$
Область определения:
$$x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge 2,$$
то есть $$D(f)=[2;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то $$f(x)\ge -2,$$ значит
$$E(f)=[-2;+\infty).$$
Пересечение с осью ординат отсутствует, так как $$x=0\notin D(f).$$
Пересечение с осью абсцисс:
$$\sqrt{x-2}-2=0$$
$$\sqrt{x-2}=2$$
$$x-2=4$$
$$x=6.$$
Точка пересечения: $$ (6;0). $$
Функция возрастает на всей области определения.
Минимум достигается при $$x=2$$ и равен $$-2.$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),$$ функция чётная, минимум в точке $$ (0;0). $$
б) $$D(f)=[-4;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1],$$ точки $$ (0;-1) $$ и $$ (-3;0), $$ функция убывает.
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\mathbb{R},$$ функция возрастает, нечётная, точка $$ (0;0). $$
г) $$D(f)=[2;+\infty),\ E(f)=[-2;+\infty),$$ точка $$ (6;0), $$ минимум $$-2$$ при $$x=2.$$
