Упр.98 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=x^4+4x^2$$
$$D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=(-x)^4+4(-x)^2=x^4+4x^2=f(x).$$
Найдём нули функции:
$$x^4+4x^2=0$$
$$x^2(x^2+4)=0$$
$$x=0.$$
Точка пересечения с осями координат: $$(0;0).$$
Так как $$x^4+4x^2=x^2(x^2+4)\ge 0,$$ то $$f(x)\ge 0$$ при всех $$x\in\mathbb R,$$ и равенство достигается только при $$x=0.$$
Функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$
Минимум: $$x_{\min}=0,\qquad y_{\min}=0.$$
б) $$f(x)=1-\sqrt{x+4}$$
Область определения задаётся условием:
$$x+4\ge 0,\qquad x\ge -4,$$
значит, $$D(f)=[-4;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0,$$ то $$f(x)\le 1,$$ следовательно,
$$E(f)=(-\infty;1].$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=1-\sqrt{4}=-1,$$
поэтому с осью ординат график пересекается в точке $$(0;-1).$$
Найдём нуль функции:
$$1-\sqrt{x+4}=0$$
$$\sqrt{x+4}=1$$
$$x+4=1$$
$$x=-3.$$
Точка пересечения с осью абсцисс: $$(-3;0).$$
Функция убывает на всей области определения, так как при увеличении $$x$$ значение $$\sqrt{x+4}$$ возрастает, а значит $$1-\sqrt{x+4}$$ убывает.
Максимум: $$x_{\max}=-4,\qquad y_{\max}=f(-4)=1.$$
в) $$f(x)=x^3+x$$
$$D(f)=\mathbb R,\qquad E(f)=\mathbb R.$$
Найдём точку пересечения с осями координат:
$$f(0)=0^3+0=0,$$
значит, график проходит через точку $$(0;0).$$
Исследуем знак функции:
$$x^3+x=x(x^2+1).$$
Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак функции совпадает со знаком $$x$$:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(0;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0).$$
Докажем, что функция возрастает на всей области определения. Пусть $$x_2>x_1$$. Тогда
$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3+x_2)-(x_1^3+x_1) =(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1).$$
Так как $$x_2-x_1>0,$$ а $$x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1>0,$$ то
$$f(x_2)-f(x_1)>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb R.$$
Функция нечётная, поскольку
$$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-f(x).$$
Значит, график симметричен относительно начала координат. Точек максимума и минимума нет.
г) $$f(x)=\sqrt{x-2}-2$$
Область определения:
$$x-2\ge 0,\qquad x\ge 2,$$
значит, $$D(f)=[2;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то
$$f(x)\ge -2,$$
следовательно, $$E(f)=[-2;+\infty).$$
Точка пересечения с осью ординат отсутствует, так как $$x=0\notin D(f).$$
Найдём нуль функции:
$$\sqrt{x-2}-2=0$$
$$\sqrt{x-2}=2$$
$$x-2=4$$
$$x=6.$$
Точка пересечения с осью абсцисс: $$(6;0).$$
Исследуем знак функции:
$$\sqrt{x-2}-2>0 \iff \sqrt{x-2}>2 \iff x>6,$$
то есть $$f(x)>0$$ при $$x\in(6;+\infty).$$
$$\sqrt{x-2}-2<0 \iff \sqrt{x-2}<2 \iff 2\le x<6,$$
то есть $$f(x)<0$$ при $$x\in[2;6).$$
Функция возрастает на всей области определения.
Минимум: $$x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=f(2)=-2.$$
Ответ: для всех четырёх функций найдены области определения и значений, точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства, монотонность и характерные точки графиков, указанные выше.
