Упр.97 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения каждой из функций: а) $$y=\sqrt{\sin(x)\cos(x)}$$; б) $$y=\sqrt{x}\tan(x)$$; в) $$y=\sqrt{\sin^2(x)-\cos^2(x)}$$; г) $$y=\sqrt{\sin(x)}+\sqrt{\cos(x)}$$.

а) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sin x \cos x \ge 0.$$

Так как $$\sin 2x = 2\sin x \cos x,$$ то

$$\sin 2x \ge 0.$$

Отсюда

$$2\pi n \le 2x \le \pi + 2\pi n,$$

значит,

$$\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Для функции $$y=\sqrt{x}\,\tg x$$ нужно, чтобы

$$x\ge 0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Следовательно, область определения:

$$x\ge 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) Требуется, чтобы

$$\sin^2 x-\cos^2 x\ge 0.$$

Но $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ значит,

$$\cos 2x\le 0.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$

откуда

$$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Для функции $$y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}$$ нужно одновременно:

$$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$

Это выполняется при

$$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x\ge 0,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

в) $$\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{3\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$