Упр.97 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^2-2(a-1)x+2a+1=0;
б) (a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$x^2-2(a-1)x+2a+1=0.$$
Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
$$D=4(a-1)^2-4(2a+1)\ge 0,$$
$$4(a^2-2a+1-2a-1)\ge 0,$$
$$4(a^2-4a)\ge 0,$$
$$a(a-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$
Найдём знаки корней по формулам Виета:
$$x_1x_2=2a+1,\qquad x_1+x_2=2(a-1).$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0.$$
То есть
$$2a+1>0 \Rightarrow a>-\frac12,$$
$$2(a-1)>0 \Rightarrow a>1.$$
С учётом условия существования корней получаем:
$$a\ge 4.$$
Чтобы оба корня были отрицательными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2<0.$$
Тогда
$$a>-\frac12,\qquad a<1.$$
С учётом существования корней:
$$-\frac12<a\le 0.$$
Чтобы корни имели разные знаки, нужно
$$x_1x_2<0,$$
то есть
$$2a+1<0 \Rightarrow a<-\frac12.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$(a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0.$$
Для существования действительных корней найдём дискриминант:
$$D=4(3a-4)^2-4(a-3)(7a-6)\ge 0,$$
$$4\bigl(9a^2-24a+16-7a^2+27a-18\bigr)\ge 0,$$
$$4(2a^2+3a-2)\ge 0,$$
$$2a^2+3a-2\ge 0.$$
Решим неравенство:
$$2a^2+3a-2=(2a-1)(a+2)\ge 0,$$
откуда
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a\ge \frac12.$$
По формулам Виета:
$$x_1x_2=\frac{7a-6}{a-3},\qquad x_1+x_2=\frac{2(3a-4)}{a-3}.$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0.$$
Из этих условий получаем
$$\frac{7a-6}{a-3}>0,\qquad \frac{3a-4}{a-3}>0.$$
Совмещая с условием существования корней, получаем:
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad \frac12\le a<\frac67 \quad \text{или} \quad a>3.$$
Чтобы корни имели разные знаки, нужно
$$x_1x_2<0,$$
то есть
$$\frac{7a-6}{a-3}<0,$$
откуда
$$\frac67<a<3.$$