Упр.97 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$, при которых данное уравнение имеет решение. Найдите знаки корней:
а) $$x^2-2(a-1)x+2a+1=0$$;
б) $$(a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0$$.
а) Рассмотрим уравнение
$$x^2-2(a-1)x+2a+1=0.$$
Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
$$D=[-2(a-1)]^2-4(2a+1)\ge 0,$$
$$4(a-1)^2-4(2a+1)\ge 0,$$
$$a^2-2a+1-2a-1\ge 0,$$
$$a^2-4a\ge 0,$$
$$a(a-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$
Найдём знаки корней по формулам Виета:
$$x_1x_2=2a+1,\qquad x_1+x_2=2(a-1).$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0,$$
то есть
$$2a+1>0 \Rightarrow a>-\frac12,$$
$$2(a-1)>0 \Rightarrow a>1.$$
Совмещая с условием существования корней, получаем:
$$a\ge 4.$$
Чтобы оба корня были отрицательными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2<0,$$
то есть
$$a>-\frac12,\qquad a<1.$$
С учётом условия существования корней:
$$-\frac12<a\le 0.$$
Чтобы корни имели разные знаки, нужно
$$x_1x_2<0,$$
то есть
$$2a+1<0 \Rightarrow a<-\frac12.$$
Итак:
$$a\le 0 \text{ или } a\ge 4$$ — уравнение имеет решения;
$$a\ge 4$$ — оба корня положительны;
$$-\frac12<a\le 0$$ — оба корня отрицательны;
$$a<-\frac12$$ — корни разных знаков.
б) Рассмотрим уравнение
$$(a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0.$$
Сначала найдём, при каких значениях $$a$$ оно имеет действительные корни. Дискриминант:
$$D=[-2(3a-4)]^2-4(a-3)(7a-6)\ge 0,$$
$$4(3a-4)^2-4(a-3)(7a-6)\ge 0,$$
$$(3a-4)^2-(a-3)(7a-6)\ge 0,$$
$$9a^2-24a+16-(7a^2-27a+18)\ge 0,$$
$$2a^2+3a-2\ge 0,$$
$$(2a-1)(a+2)\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a\ge \frac12.$$
Найдём знаки корней по формулам Виета:
$$x_1x_2=\frac{7a-6}{a-3},\qquad x_1+x_2=\frac{2(3a-4)}{a-3}.$$
Чтобы оба корня были положительными, нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0.$$
Из неравенства
$$\frac{7a-6}{a-3}>0$$
получаем
$$a<\frac67 \quad \text{или} \quad a>3.$$
Из неравенства
$$\frac{2(3a-4)}{a-3}>0$$
получаем
$$a<\frac43 \quad \text{или} \quad a>3.$$
С учётом условия существования корней получаем:
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a>3.$$
Чтобы корни имели разные знаки, нужно
$$x_1x_2<0,$$
то есть
$$\frac{7a-6}{a-3}<0,$$
откуда
$$\frac67<a<3.$$
Итак:
$$a\le -2 \text{ или } a\ge \frac12$$ — уравнение имеет решения;
$$a\le -2 \text{ или } a>3$$ — оба корня положительны;
$$\frac67<a<3$$ — корни разных знаков.
Ответ
а) $$a\le 0$$ или $$a\ge 4$$; оба корня положительны при $$a\ge 4$$, оба отрицательны при $$-\frac12<a\le 0$$, разных знаков при $$a<-\frac12$$.
б) $$a\le -2$$ или $$a\ge \frac12$$; оба корня положительны при $$a\le -2$$ или $$a>3$$, разных знаков при $$\frac67<a<3$$.
