Упр.97 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=v(sin(x)cos(x)); б) y=vxtg(x);
в) y=v(sin^2(x)-cos^2(x)); г) y=vsin(x)+vcos(x).

1. а) Для функции $$y=\sqrt{\sin x \cos x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\sin x \cos x \ge 0.$$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x \cos x,$$ то

   $$\sin 2x \ge 0.$$

   Отсюда

   $$\pi n \le 2x \le \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

   значит,

   $$\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) Для функции $$y=\sqrt{x}\,\tg x$$ нужно, чтобы

   $$x\ge 0,$$

   а также $$\tg x$$ была определена, то есть

   $$\cos x\ne 0,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, область определения: все $$x\ge 0$$, кроме точек $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

3. в) Для функции $$y=\sqrt{\sin^2 x-\cos^2 x}$$ требуется

   $$\sin^2 x-\cos^2 x\ge 0.$$

   Так как $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$ то

   $$\sin^2 x-\cos^2 x\ge 0 \iff \cos 2x\le 0.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n \le 2x \le \frac{3\pi}{2}+\pi n,$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. г) Для функции $$y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}$$ нужно одновременно:

   $$\sin x\ge 0,\qquad \cos x\ge 0.$$

   Первое неравенство даёт

   $$2\pi n\le x\le \pi+2\pi n,$$

   второе —

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

   Пересечение этих промежутков:

   $$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\ge 0,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$