Упр.96 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) v(x+y)?v|x|; б) |x|-|y| < a; в) [x]?[y]; г) {x}?{y}; д) 1/x > 1/y; е) sin(x) > sin(y); ж) min(x; y)=1; з) xy+1?0.

1. а) $$\sqrt{x+y}\ge \sqrt{|x|}$$

   Так как корень определён только при неотрицательных подкоренных выражениях, получаем:

   $$x+y\ge 0,\qquad |x|\ge 0.$$

   После возведения в квадрат:

   $$x+y\ge |x|.$$

   Рассмотрим случаи:

   1) если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и тогда $$x+y\ge x,$$ то есть $$y\ge 0;$$

   2) если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и тогда $$x+y\ge -x,$$ то есть $$y\ge -2x.$$

   Итак, множество точек задаётся неравенством $$x+y\ge |x|.$$

2. б) $$|x|-|y|

   При фиксированном $$x$$ это неравенство равносильно

   $$|y|>|x|-a.$$

   Граница области задаётся линиями

   $$y=|x|-a \quad \text{и} \quad y=a-|x|.$$

   Следовательно, искомое множество — все точки, для которых

   $$|y|>|x|-a.$$

3. в) $$[x]\le [y]$$

   Здесь $$[x]$$ и $$[y]$$ — целые части чисел. Неравенство означает, что целая часть $$x$$ не превосходит целой части $$y$$.

   Это эквивалентно условию

   $$y\ge [x].$$

   Граница области — ступенчатая линия $$y=[x]$$, а искомое множество лежит выше неё, включая границу.

4. г) $$\{x\}\ge \{y\}$$

   Здесь $$\{x\}$$ и $$\{y\}$$ — дробные части чисел, поэтому

   $$0\le \{x\}<1,\qquad 0\le \{y\}<1.$$

   Неравенство $$\{x\}\ge \{y\}$$ задаёт множество точек, для которых дробная часть $$x$$ не меньше дробной части $$y$$. На координатной плоскости это повторяющаяся ступенчатая область.

5. д) $$\frac1x>\frac1y$$

   Область определения: $$x\ne 0,\ y\ne 0.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac1x-\frac1y>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{y-x}{xy}>0.$$

   Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Получаем два случая:

   $$ \begin{cases} y-x>0,\\ xy>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y-x<0,\\ xy<0 \end{cases} $$

   То есть:

   $$ \begin{cases} x>0,\ y>x \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x<0,\ y0 \end{cases} $$

   Граница — гипербола $$y=x$$ и оси координат не входят в множество.

6. е) $$\sin x>\sin y$$

   Сначала найдём границу:

   $$\sin x=\sin y.$$

   Отсюда

   $$y=x+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\pi-x+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Искомое множество — точки, лежащие между этими параллельными прямыми в тех областях, где $$\sin x$$ больше $$\sin y$$. Граница состоит из указанных семейств прямых и не входит в множество.

7. ж) $$\min(x,y)=1$$

   Минимум двух чисел равен 1 тогда и только тогда, когда одно из них равно 1, а другое не меньше 1:

   $$ \begin{cases} x=1,\ y\ge 1 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} y=1,\ x\ge 1 \end{cases} $$

   Значит, множество точек — два луча, выходящие из точки $$\left(1,1\right)$$ вверх и вправо.

8. з) $$xy+1\ge 0$$

   Преобразуем неравенство:

   $$xy\ge -1.$$

   Если $$x>0,$$ то

   $$y\ge -\frac1x.$$

   Если $$x<0,$$ то при делении на отрицательное число знак меняется:

   $$y\le -\frac1x.$$

   Граница области — гипербола $$y=-\frac1x,$$ которая входит в множество.

Ответ

а) $$x+y\ge |x|$$; б) $$|y|>|x|-a$$; в) $$[x]\le [y]$$; г) $$\{x\}\ge \{y\}$$; д) $$\frac{y-x}{xy}>0$$; е) $$\sin x>\sin y$$; ж) $$\min(x,y)=1$$; з) $$xy+1\ge 0$$.