Упр.95 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y^2+cos^2(x)=1; б) x^2+y^2=x^2y^2+1; в) |y|=log(1/3; ||x+2|-1||).

а) $$y^2+\cos^2 x=1$$

Используем тождество $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$:

$$ y^2=1-\cos^2 x=\sin^2 x $$

Следовательно,

$$|y|=|\sin x|,$$

то есть множество точек задаётся двумя графиками:

$$y=\sin x \quad \text{и} \quad y=-\sin x.$$

б) $$x^2+y^2=x^2y^2+1$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ x^2y^2-x^2-y^2+1=0 $$

Сгруппируем:

$$ (x^2-1)(y^2-1)=0 $$

Отсюда

$$x^2=1 \quad \text{или} \quad y^2=1,$$

то есть

$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad y=\pm 1.$$

Множество точек состоит из четырёх прямых: $$x=1,$$ $$x=-1,$$ $$y=1,$$ $$y=-1.$$

в) $$|y|=\log_{1/3}\!\bigl(\,||x+2|-1|\,\bigr)$$

Так как логарифм определён только при положительном аргументе, нужно:

$$||x+2|-1|>0.$$

Разберём модуль:

$$||x+2|-1|=|x+2|-1 \quad \text{при } |x+2|\ge 1,$$

и

$$||x+2|-1|=1-|x+2| \quad \text{при } |x+2|<1.$$

Удобнее рассмотреть по промежуткам:

$$ \begin{aligned} x\ge -2,\ |x+2|-1&=x+1,\\ x\le -2,\ |x+2|-1&=-x-3. \end{aligned} $$

Тогда получаем четыре ветви:

$$ \begin{aligned} x\ge -2,\ x\le -1:&\quad |y|=\log_{1/3}(x+1),\\ x\ge -2,\ x\ge -1:&\quad |y|=\log_{1/3}(-x-1),\\ x\le -2,\ x\le -3:&\quad |y|=\log_{1/3}(x+3),\\ x\le -2,\ x\ge -3:&\quad |y|=\log_{1/3}(-x-3). \end{aligned} $$

График симметричен относительно оси $$Ox$$, так как задано $$|y|.$$

Ответ

а) $$y=\sin x$$ и $$y=-\sin x$$.

б) $$x=\pm 1$$ или $$y=\pm 1.$$

в) Множество точек задаётся графиком функции $$|y|=\log_{1/3}\!\bigl(||x+2|-1|\bigr)$$ с ветвями, указанными выше; график симметричен относительно оси $$Ox$$.