Упр.95 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

а) $$y^2+\cos^2(x)=1$$;

б) $$x^2+y^2=x^2y^2+1$$;

в) $$|y|=\log(1/3; \, ||x+2|-1||)$$.

а) $$y^2+\cos^2 x=1$$

Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x,$$ получаем

$$y^2=1-\cos^2 x=\sin^2 x,$$

значит,

$$|y|=|\sin x|.$$

Искомое множество — две кривые:

$$y=\sin x \quad \text{и} \quad y=-\sin x.$$

б) $$x^2+y^2=x^2y^2+1$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2y^2-x^2-y^2+1=0.$$

Сгруппируем:

$$\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=0.$$

Следовательно,

$$x^2-1=0 \quad \text{или} \quad y^2-1=0,$$

то есть

$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad y=\pm 1.$$

Искомое множество — четыре прямые:

$$x=1,\ x=-1,\ y=1,\ y=-1.$$

в) $$|y|=\log_{1/3}\!\left(\left||x+2|-1\right|\right)$$

Для существования логарифма нужно

$$\left||x+2|-1\right|>0,$$

то есть

$$|x+2|\ne 1,$$

откуда

$$x\ne -1,\quad x\ne -3.$$

Раскроем модуль в аргументе логарифма:

$$\left||x+2|-1\right|=\begin{cases} x+1, & x\ge -2,\ x\ge -1,\\ -x-1, & x\ge -2,\ x\le -1,\\ x+3, & x\le -2,\ x\le -3,\\ -x-3, & x\le -2,\ x\ge -3. \end{cases}$$

С учётом этого получаем четыре ветви графика:

$$|y|=\log_{1/3}(x+1), \quad x\ge -1,$$

$$|y|=\log_{1/3}(-x-1), \quad -2\le x\le -1,$$

$$|y|=\log_{1/3}(x+3), \quad x\le -3,$$

$$|y|=\log_{1/3}(-x-3), \quad -3\le x\le -2.$$

Так как слева стоит $$|y|,$$ график симметричен относительно оси $$Ox.$$

Ответ

а) $$y=\sin x$$ и $$y=-\sin x$$; б) $$x=\pm 1,\ y=\pm 1$$; в) множество точек, задаваемое уравнением $$|y|=\log_{1/3}\!\left(\left||x+2|-1\right|\right)$$, с областью определения $$x\ne -1,\ x\ne -3.$$