Упр.95 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=5-2x$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=5,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;5).$$
$$5-2x=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2},$$ значит, точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(\frac{5}{2};0\right).$$
Если $$x_2>x_1,$$ то
$$f(x_2)-f(x_1)=(5-2x_2)-(5-2x_1)=2(x_1-x_2)<0,$$
следовательно, функция убывает на всей области определения. График — прямая.
б) $$f(x)=3-2x-x^2$$
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=3,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;3).$$
$$3-2x-x^2=0 \Rightarrow x^2+2x-3=0 \Rightarrow (x+3)(x-1)=0,$$
откуда $$x_1=-3,\quad x_2=1.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-3;0)$$ и $$(1;0).$$
Так как $$a=-1<0,$$ парабола направлена ветвями вниз. Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,$$
$$y_0=f(-1)=3-2(-1)-(-1)^2=4.$$
Вершина параболы: $$(-1;4).$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;4].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и убывает на $$[-1;\infty).$$
в) $$f(x)=3x-2$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=-2,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;-2).$$
$$3x-2=0 \Rightarrow x=\frac{2}{3},$$ значит, точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(\frac{2}{3};0\right).$$
Если $$x_2>x_1,$$ то
$$f(x_2)-f(x_1)=(3x_2-2)-(3x_1-2)=3(x_2-x_1)>0,$$
следовательно, функция возрастает на всей области определения. График — прямая.
г) $$f(x)=x^2-3x+2$$
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=2,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;2).$$
$$x^2-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)(x-2)=0,$$
откуда $$x_1=1,\quad x_2=2.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(1;0)$$ и $$(2;0).$$
Так как $$a=1>0,$$ парабола направлена ветвями вверх. Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2},$$
$$y_0=f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot\frac{3}{2}+2=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+2=-\frac{1}{4}.$$
Вершина параболы: $$\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right).$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac{1}{4};\infty\right).$$
Функция убывает на $$(-\infty;\frac{3}{2}]$$ и возрастает на $$[\frac{3}{2};\infty).$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\mathbb{R}$$; график — прямая, функция убывает.
б) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;4]$$; вершина $$(-1;4)$$, парабола направлена вниз.
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\mathbb{R}$$; график — прямая, функция возрастает.
г) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\left[-\frac{1}{4};\infty\right)$$; вершина $$\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right)$$, парабола направлена вверх.
