Упр.94 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) (x^2-y^2)/(x^2+y^2-1)?0; б) |x|+|y|=4;
в) v(x+y)?|x|; г) (xy+1)/(xy-1)?(y+1)/(y-1).
а) Рассмотрим неравенство
$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\le 0.$$
Числитель раскладывается:
$$x^2-y^2=(x-y)(x+y).$$
Знак дроби не положителен, когда числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю. Получаем систему условий:
$$|y|\ge |x|,\quad x^2+y^2\ge 1$$
или
$$|y|\le |x|,\quad x^2+y^2\le 1.$$
Итак, множество точек состоит из двух областей: вне окружности $$x^2+y^2=1$$ между прямыми $$y=x$$ и $$y=-x$$, и внутри этой окружности между теми же прямыми.
б) Имеем
$$|x|+|y|=4.$$
Это граница ромба с вершинами в точках
$$(-4,0),\ (0,4),\ (4,0),\ (0,-4).$$
Следовательно, искомое множество — стороны ромба.
в) Рассмотрим неравенство
$$\sqrt{x+y}\ge |x|.$$
Так как левая часть определена, то
$$x+y\ge 0.$$
Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:
$$x+y\ge x^2.$$
Отсюда
$$y\ge x^2-x,$$
при условии $$x+y\ge 0.$$
Но из $$y\ge x^2-x$$ следует $$x+y\ge x^2\ge 0,$$ значит дополнительное условие уже выполнено.
Итак, множество точек задаётся неравенством
$$y\ge x^2-x.$$
г) Решим неравенство
$$\frac{xy+1}{xy-1}\ge \frac{y+1}{y-1}.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$\frac{(xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0.$$
Числитель упрощается:
$$ (xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)=2y-2xy=2y(1-x). $$
Тогда
$$\frac{y(1-x)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0.$$
С учётом знаков множителей получаем объединение областей, ограниченных прямыми $$x=1$$, $$y=1$$ и гиперболой $$xy=1$$, при этом точки разрыва не входят в множество.
Ответ
а) $$\{(x,y): |y|\ge |x|,\ x^2+y^2\ge 1\}\cup \{(x,y): |y|\le |x|,\ x^2+y^2\le 1\}$$;
б) граница ромба с вершинами $$(-4,0),\ (0,4),\ (4,0),\ (0,-4)$$;
в) $$y\ge x^2-x$$;
г) $$\dfrac{y(1-x)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0,\quad xy\ne 1,\ y\ne 1.$$
