Упр.94 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

а) $$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\ ?\ 0$$;

б) $$|x|+|y|=4$$;

в) $$v(x+y)\ ?\ |x|$$;

г) $$\frac{xy+1}{xy-1}\ ?\ \frac{y+1}{y-1}$$.

а) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\le 0.$$

Оно выполняется, когда числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю:

$$x^2-y^2\le 0,\quad x^2+y^2-1>0$$

или

$$x^2-y^2\ge 0,\quad x^2+y^2-1<0.$$

То есть

$$|y|\ge |x|,\quad x^2+y^2\ge 1$$

или

$$|y|\le |x|,\quad x^2+y^2\le 1.$$

Следовательно, искомое множество состоит из двух частей: вне окружности $$x^2+y^2=1$$ в областях между прямыми $$y=\pm x$$ и внутри этой окружности в областях, где $$|y|\le |x|$$.

б) Имеем

$$|x|+|y|=4.$$

В каждой четверти это уравнение задаёт отрезок прямой:

• при $$x\ge 0,\ y\ge 0$$: $$x+y=4$$;
• при $$x\le 0,\ y\ge 0$$: $$-x+y=4$$;
• при $$x\le 0,\ y\le 0$$: $$-x-y=4$$;
• при $$x\ge 0,\ y\le 0$$: $$x-y=4$$.

Получаем ромб с вершинами $$\,(0,4),\ (4,0),\ (0,-4),\ (-4,0)\,.$$

в) Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{x+y}\ge |x|.$$

Так как левая часть определена, то

$$x+y\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+y\ge x^2.$$

Итак, нужно выполнить систему

$$\begin{cases} x+y\ge 0,\\ x+y\ge x^2. \end{cases}$$

То есть

$$y\ge x^2-x,\qquad y\ge -x.$$

Искомое множество — пересечение двух полуплоскостей, лежащее выше прямой $$y=-x$$ и выше параболы $$y=x^2-x$$.

г) Решим неравенство

$$\frac{xy+1}{xy-1}\ge \frac{y+1}{y-1}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{(xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0.$$

Числитель упрощается:

$$(xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)=2y-2xy=2y(1-x).$$

Тогда

$$\frac{y(1-x)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0,$$

или

$$\frac{y(x-1)}{(xy-1)(y-1)}\le 0.$$

При этом обязательно

$$xy\ne 1,\qquad y\ne 1.$$

Рассматривая знаки множителей, получаем искомое множество точек, задаваемое совокупностью областей:

• $$xy>1,\ x\le 1,\ y<1;$$
• $$xy>1,\ x\le 1,\ y>1;$$
• $$xy<1,\ x\ge 1,\ y<1;$$
• $$xy<1,\ x\ge 1,\ 0\le y<1;$$
• $$xy>1,\ x\ge 1,\ 0\le y<1.$$

Границы $$xy=1$$ и $$y=1$$ не входят в решение.