Упр.93 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) |x| < 1, |y| < 1; б) |x-3|?1, |y-4|?1; в) |y| > |x+1|; г) |x+y|+|x-y|?2.

1. а) $$|x|<1,\ |y|<1$$

   Это равносильно системе:

   $$-1<x<1,\quad -1<y<1.$$

   Получаем внутренность квадрата с вершинами $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (1,1),\ (-1,1).$$ Границы не входят.

2. б) $$|x-3|\le 1,\ |y-4|\le 1$$

   Тогда

   $$-1\le x-3\le 1,\quad -1\le y-4\le 1,$$

   откуда

   $$2\le x\le 4,\quad 3\le y\le 5.$$

   Это квадрат с вершинами $$ (2,3),\ (4,3),\ (4,5),\ (2,5).$$ Границы входят.

3. в) $$|y|>|x+1|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$y^2>(x+1)^2.$$

   Разложим на множители:

   $$\bigl(y-(x+1)\bigr)\bigl(y+(x+1)\bigr)>0,$$

   то есть

   $$y>x+1 \quad \text{и} \quad y>-x-1$$

   или

   $$y<x+1 \quad \text{и} \quad y<-x-1.$$

   Следовательно, это объединение двух областей: выше обеих прямых $$y=x+1$$ и $$y=-x-1$$, а также ниже обеих этих прямых. Границы не входят.

4. г) $$|x+y|+|x-y|\ge 2$$

   Рассмотрим случаи по знакам выражений $$x+y$$ и $$x-y$$.

   1) Если $$x+y\ge 0$$ и $$x-y\ge 0,$$ то

   $$|x+y|+|x-y|=(x+y)+(x-y)=2x\ge 2,$$

   значит $$x\ge 1$$ и одновременно $$x\ge |y|.$$

   2) Если $$x+y\ge 0$$ и $$x-y<0,$$ то

   $$|x+y|+|x-y|=(x+y)-(x-y)=2y\ge 2,$$

   значит $$y\ge 1$$ и $$y\ge |x|.$$

   3) Если $$x+y<0$$ и $$x-y\ge 0,$$ то

   $$|x+y|+|x-y|=-(x+y)+(x-y)=-2y\ge 2,$$

   значит $$y\le -1$$ и $$|x|\le -y.$$

   4) Если $$x+y<0$$ и $$x-y<0,$$ то

   $$|x+y|+|x-y|=-(x+y)-(x-y)=-2x\ge 2,$$

   значит $$x\le -1$$ и $$|y|\le -x.$$

   Итак, множество решений — внешность квадрата с вершинами $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (0,-1),$$ включая его границы.

Ответ

а) $$-1<x<1,\ -1<y<1$$;
б) $$2\le x\le 4,\ 3\le y\le 5$$;
в) область, лежащая выше обеих прямых $$y=x+1$$ и $$y=-x-1$$ или ниже обеих этих прямых;
г) внешность квадрата с вершинами $$(-1,0),\ (0,1),\ (1,0),\ (0,-1)$$, включая границы.