Упр.93 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию: а) $$|x|<1,\ |y|<1$$; б) $$|x-3|\leq 1,\ |y-4|\leq 1$$; в) $$|y|>|x+1|$$; г) $$|x+y|+|x-y|\leq 2$$.

а) $$|x|<1,\ |y|<1.$$

Это равносильно системе:

$$-1<x<1,\qquad -1<y<1.$$

Искомое множество — внутренняя часть квадрата с вершинами $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (1,1),\ (-1,1)$$ без границы.

б) $$|x-3|\le 1,\ |y-4|\le 1.$$

Получаем:

$$-1\le x-3\le 1,\qquad -1\le y-4\le 1,$$

$$2\le x\le 4,\qquad 3\le y\le 5.$$

Это квадрат с вершинами $$(2,3),\ (4,3),\ (4,5),\ (2,5)$$ вместе с границей.

в) $$|y|>|x+1|.$$

Так как $$|y|>|x+1| \iff y<-(x+1)\ \text{или}\ y>x+1,$$ то множество точек состоит из двух областей:

$$y<-x-1,\qquad y>x+1.$$

Это две открытые области вне угла между прямыми $$y=x+1$$ и $$y=-x-1$$; сами прямые в множество не входят.

г) $$|x+y|+|x-y|\ge 2.$$

Используем равенство:

$$|x+y|+|x-y|=2\max\{|x|,|y|\}.$$

Тогда

$$2\max\{|x|,|y|\}\ge 2 \iff \max\{|x|,|y|\}\ge 1.$$

Следовательно, нужно взять все точки, для которых $$|x|\ge 1$$ или $$|y|\ge 1.$$

Это внешность квадрата $$-1<x<1,\ -1<y<1$$ вместе с его границей.

Ответ

а) $$-1<x<1,\ -1<y<1$$; б) $$2\le x\le 4,\ 3\le y\le 5$$; в) $$y<-x-1$$ или $$y>x+1$$; г) $$|x|\ge 1$$ или $$|y|\ge 1$$.