Упр.93 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) четной; б) нечетной; в) периодической?

Рассмотрим свойства функций.

1) Чётная функция удовлетворяет условию $$f(-x)=f(x).$$

Линейная функция имеет вид $$y=kx+b.$$ Чтобы она была чётной, должно выполняться

$$-kx+b=kx+b.$$

Отсюда $$k=0,$$ значит, функция имеет вид $$y=b.$$

Квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+bx+c.$$ Для чётности нужно, чтобы

$$a(-x)^2+b(-x)+c=ax^2+bx+c,$$

то есть $$-bx=bx,$$ откуда $$b=0.$$ Следовательно, чётная квадратичная функция имеет вид $$y=ax^2+c.$$

2) Нечётная функция удовлетворяет условию $$f(-x)=-f(x).$$

Для линейной функции $$y=kx+b$$ получаем

$$-kx+b=-(kx+b)=-kx-b.$$

Отсюда $$b=0,$$ значит, линейная функция должна иметь вид $$y=kx.$$

Квадратичная функция не может быть нечётной, так как в её записи есть член $$ax^2,$$ а для нечётной функции должны отсутствовать члены чётной степени.

3) Периодическая функция должна удовлетворять условию $$f(x+T)=f(x)$$ при некотором $$T\ne 0.$$

Линейная функция периодической быть не может, кроме постоянной функции $$y=b,$$ которая является частным случаем линейной.

Квадратичная функция периодической быть не может.

Ответ

а) Линейная — только при виде $$y=b$$, квадратичная — только при виде $$y=ax^2+c$$.
б) Линейная — только при виде $$y=kx$$, квадратичная — не может быть нечётной.
в) Линейная — только постоянная $$y=b$$, квадратичная — не может быть периодической.