Упр.92 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) Пусть $$x_0$$ — точка максимума функции $$f$$. Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство $$f(x_0)\ge f(x).$$

Так как функция чётная, то $$f(-x_0)=f(x_0).$$ Следовательно,

$$f(-x_0)\ge f(x).$$

Значит, значение функции в точке $$-x_0$$ не меньше значений в её окрестности, то есть $$-x_0$$ — точка максимума.

б) Пусть функция $$f$$ нечётная и убывает на промежутке $$[a;b].$$ Тогда для любых $$x_1,x_2\in[a;b]$$, если $$x_1<x_2,$$ имеем

$$f(x_1)>f(x_2).$$

Положим $$u=-x_2,\ v=-x_1.$$ Тогда $$u,v\in[-b;-a]$$ и $$u<v.$$ Так как функция нечётная, то

$$f(u)=f(-x_2)=-f(x_2),\qquad f(v)=f(-x_1)=-f(x_1).$$

Из $$f(x_1)>f(x_2)$$ получаем

$$-f(x_1)<-f(x_2),$$

то есть

$$f(v)<f(u).$$

Следовательно, при возрастании аргумента на промежутке $$[-b;-a]$$ значение функции убывает. Значит, $$f$$ убывает на $$[-b;-a].$$

в) Пусть $$x_0$$ — точка минимума функции $$f.$$ Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$ выполняется неравенство

$$f(x_0)\le f(x).$$

Так как функция нечётная, то $$f(-x_0)=-f(x_0).$$ Умножим неравенство на $$-1$$:

$$-f(x_0)\ge -f(x).$$

Следовательно,

$$f(-x_0)\ge f(x),$$

то есть $$-x_0$$ — точка максимума.

г) Пусть функция $$f$$ чётная и возрастает на промежутке $$[a;b].$$ Тогда для любых $$x_1,x_2\in[a;b]$$, если $$x_1<x_2,$$ имеем

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Положим $$u=-x_2,\ v=-x_1.$$ Тогда $$u,v\in[-b;-a]$$ и $$u<v.$$ Так как функция чётная, то

$$f(u)=f(-x_2)=f(x_2),\qquad f(v)=f(-x_1)=f(x_1).$$

Из $$f(x_1)<f(x_2)$$ получаем

$$f(v)<f(u).$$

Значит, на промежутке $$[-b;-a]$$ функция убывает.