Упр.91 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

1. а) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из промежутка $$[0;+\infty)$$, причём $$x_2>x_1$$.

   Найдём разность:

   $$ \begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &= (x_2^4+3x_2)-(x_1^4+3x_1) \\ &= (x_2^4-x_1^4)+3(x_2-x_1) \\ &= (x_2-x_1)(x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3(x_2-x_1) \\ &= (x_2-x_1)\bigl((x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3\bigr). \end{aligned} $$

   Так как $$x_2>x_1$$, то $$x_2-x_1>0$$, а второй множитель тоже положителен. Значит, $$f(x_2)-f(x_1)>0$$, то есть $$f(x_2)>f(x_1)$$.

   Следовательно, функция $$f(x)=x^4+3x$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$.

2. б) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из $$\mathbb{R}$$, причём $$x_2>x_1$$.

   Найдём разность:

   $$ \begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &= (-x_2^3-2x_2)-(-x_1^3-2x_1) \\ &= (x_1^3-x_2^3)+2(x_1-x_2) \\ &= (x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+2(x_1-x_2) \\ &= (x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2). \end{aligned} $$

   Здесь $$x_1-x_2<0$$, а $$x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2>0$$. Следовательно, $$f(x_2)-f(x_1)<0$$, то есть $$f(x_2)<f(x_1)$$.

   Значит, функция $$f(x)=-x^3-2x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$.

3. в) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из промежутка $$(-\infty;0]$$, причём $$x_2>x_1$$.

   Найдём разность:

   $$ \begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &= (x_2^6-0{,}5)-(x_1^6-0{,}5) \\ &= x_2^6-x_1^6 \\ &= (x_2^3-x_1^3)(x_2^3+x_1^3) \\ &= (x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)(x_2+x_1)(x_2^2-x_1x_2+x_1^2). \end{aligned} $$

   Так как $$x_2>x_1$$ и оба числа не положительны, то $$x_2-x_1>0$$, а $$x_2+x_1<0$$. Остальные множители неотрицательны, причём положительны при $$x_1\neq x_2$$. Поэтому $$f(x_2)-f(x_1)<0$$.

   Следовательно, функция $$f(x)=x^6-0{,}5$$ убывает на $$(-\infty;0]$$.

4. г) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из $$\mathbb{R}$$, причём $$x_2>x_1$$.

   Найдём разность:

   $$ \begin{aligned} f(x_2)-f(x_1) &= (x_2^5+1{,}5x_2)-(x_1^5+1{,}5x_1) \\ &= (x_2^5-x_1^5)+1{,}5(x_2-x_1) \\ &= (x_2-x_1)(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4)+1{,}5(x_2-x_1) \\ &= (x_2-x_1)\bigl(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4+1{,}5\bigr). \end{aligned} $$

   Так как $$x_2-x_1>0$$, а второй множитель положителен, то $$f(x_2)-f(x_1)>0$$. Значит, $$f(x_2)>f(x_1)$$.

   Следовательно, функция $$f(x)=x^5+1{,}5x$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ

а) возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) убывает на $$\mathbb{R}$$; в) убывает на $$(-\infty;0]$$; г) возрастает на $$\mathbb{R}$$.