Упр.91 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Подробный ответ

а) Рассмотрим две точки $$x_1$$ и $$x_2$$ из промежутка $$[0;+\infty)$$, причём $$x_2>x_1$$. Тогда

$$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=(x_2^4+3x_2)-(x_1^4+3x_1)\\ &=(x_2^4-x_1^4)+3(x_2-x_1)\\ &=(x_2-x_1)(x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3(x_2-x_1)\\ &=(x_2-x_1)\bigl((x_2+x_1)(x_2^2+x_1^2)+3\bigr)>0. \end{aligned}$$

Значит, $$f(x_2)>f(x_1)$$, следовательно, функция $$f(x)=x^4+3x$$ возрастает на $$[0;+\infty)$$.

б) Пусть $$x_2>x_1$$, где $$x_1,x_2\in\mathbb R$$. Тогда

$$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=(-x_2^3-2x_2)-(-x_1^3-2x_1)\\ &=(x_1^3-x_2^3)+2(x_1-x_2)\\ &=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)+2(x_1-x_2)\\ &=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2+2)<0. \end{aligned}$$

Следовательно, $$f(x_2)<f(x_1)$$, то есть функция $$f(x)=-x^3-2x$$ убывает на $$\mathbb R$$.

в) Рассмотрим $$x_1,x_2\in(-\infty;0]$$, причём $$x_2>x_1$$. Тогда

$$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=(x_2^6-0{,}5)-(x_1^6-0{,}5)\\ &=x_2^6-x_1^6\\ &=(x_2^3-x_1^3)(x_2^3+x_1^3)\\ &=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2)(x_2+x_1)(x_2^2-x_1x_2+x_1^2). \end{aligned}$$

Так как $$x_2>x_1$$ и оба числа неположительны, то $$x_2-x_1>0$$, а также $$x_2+x_1\le 0$$. При этом остальные множители неотрицательны. Значит, $$f(x_2)-f(x_1)\le 0$$, и функция $$f(x)=x^6-0{,}5$$ убывает на $$(-\infty;0]$$.

г) Пусть $$x_2>x_1$$, где $$x_1,x_2\in\mathbb R$$. Тогда

$$\begin{aligned} f(x_2)-f(x_1)&=(x_2^5+1{,}5x_2)-(x_1^5+1{,}5x_1)\\ &=(x_2^5-x_1^5)+1{,}5(x_2-x_1)\\ &=(x_2-x_1)(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4)+1{,}5(x_2-x_1)\\ &=(x_2-x_1)\bigl(x_2^4+x_2^3x_1+x_2^2x_1^2+x_2x_1^3+x_1^4+1{,}5\bigr)>0. \end{aligned}$$

Следовательно, $$f(x_2)>f(x_1)$$, значит, функция $$f(x)=x^5+1{,}5x$$ возрастает на $$\mathbb R$$.