Упр.9 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- а) Укажите все корни уравнения $$\log_a x=b$$ ($$a>0$$, $$a\ne1$$).
б) Решите неравенство $$\log_a x>\log_a c$$ (рассмотрите два случая: $$0 - Решите уравнение:
а) $$\log_2(x-15)=4$$;
б) $$\lg^2(x)+2\lg(x)=8$$;
в) $$\ln^2(x-2)=4$$;
г) $$\lg(x^2-2x-4)=\lg(11)$$. - Решите неравенство:
а) $$\log_{0,6}x>2$$;
б) $$\lg(x)?-2$$;
в) $$\ln(x)?-3$$;
г) $$\log_7x<1$$.
а) Из уравнения $$\log_a x=b$$ получаем $$x=a^b$$, где $$a>0,\ a\ne 1.$$
б) При сравнении логарифмов с одинаковым основанием учитываем монотонность функции:
- если $$a>1,$$ то $$\log_a x>\log_a c \iff x>c,$$
- если $$0<a<1,$$ то $$\log_a x>\log_a c \iff x<c.$$
а) $$\log_2(x-15)=4$$
$$x-15=2^4=16,\quad x=31.$$
б) $$\lg^2 x+2\lg x=8$$
Положим $$t=\lg x.$$ Тогда
$$t^2+2t-8=0$$
$$D=2^2+4\cdot 8=36,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
Получаем $$t_1=-4,\ t_2=2,$$ значит
$$x_1=10^{-4}=0{,}0001,\quad x_2=10^2=100.$$
в) $$\ln^2(x-2)=4$$
$$\ln(x-2)=\pm 2.$$
Тогда
$$x-2=e^{\pm 2},\quad x=2+e^{-2}\ \text{или}\ x=2+e^2.$$
г) $$\lg(x^2-2x-4)=\lg 11$$
Следовательно,
$$x^2-2x-4=11,$$
$$x^2-2x-15=0.$$
$$D=4+60=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}.$$
Отсюда $$x_1=-3,\ x_2=5.$$ Оба корня подходят.
а) $$\log_{0{,}6}x>2,$$ где $$0<0{,}6<1.$$
При основании меньше 1 знак неравенства меняется:
$$x<0{,}6^2=0{,}36.$$
С учётом области определения $$x>0,$$ получаем $$x\in(0;0{,}36).$$
б) $$\lg x\le -2,$$ где $$x>0.$$
Тогда
$$x\le 10^{-2}=0{,}01,$$
значит $$x\in(0;0{,}01].$$
в) $$\ln x\ge -3,$$ где $$x>0.$$
Так как функция $$\ln x$$ возрастает, то
$$x\ge e^{-3}=\frac{1}{e^3}.$$
Следовательно, $$x\in\left[\frac{1}{e^3};+\infty\right).$$
г) $$\log_7 x<1,$$ где $$x>0.$$
Так как $$7>1,$$ то
$$x<7^1=7.$$
С учётом ОДЗ: $$x\in(0;7).$$
Ответ
1) а) $$x=a^b$$; б) при $$a>1$$ — $$x>c$$, при $$0<a<1$$ — $$x<c$$.
2) а) $$31$$; б) $$0{,}0001,\ 100$$; в) $$2+e^{-2},\ 2+e^2$$; г) $$-3,\ 5$$.
3) а) $$\left(0;0{,}36\right)$$; б) $$\left(0;0{,}01\right]$$; в) $$\left[\frac{1}{e^3};+\infty\right)$$; г) $$\left(0;7\right).$$
