Упр.9 Глава 4 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) Решите неравенство log(a; x) > log(a; c) (рассмотрите два случая: 0 < a < 1, a > 1).
2) Решите уравнение:
а) log(2; x-15)=4; б) lg^2(x)+2lg(x)=8;
в) ln^2(x-2)=4; г) lg(x^2-2x-4)=lg(11).
3) Решите неравенство:
а) log(0,6; x) > 2; б) lg(x)?-2;
в) ln(x)?-3; г) log(7; x) < 1.

1. а) Из равенства $$\log_a x=b$$ получаем $$x=a^b$$.

   б) Сравним логарифмы с одинаковым основанием:

   при $$a>1$$ знак неравенства сохраняется, поэтому $$\log_a x>\log_a c \iff x>c$$;
   
   при $$0<a<1$$ знак неравенства меняется, поэтому $$\log_a x>\log_a c \iff x<c$$.

2. а) $$\log_2(x-15)=4$$

   $$x-15=2^4=16$$
   
   $$x=31$$

   б) $$\lg^2 x+2\lg x=8$$

   Обозначим $$t=\lg x$$. Тогда
   $$t^2+2t-8=0$$
   $$D=2^2+4\cdot 8=36$$
   $$t_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
   $$t_1=-4,\quad t_2=2$$
   Значит,
   $$\lg x=-4 \Rightarrow x=10^{-4}=0{,}0001,$$
   $$\lg x=2 \Rightarrow x=10^2=100.$$

   в) $$\ln^2(x-2)=4$$

   $$\ln(x-2)=\pm 2$$
   $$x-2=e^{\pm 2}$$
   $$x=2+e^{-2} \quad \text{или} \quad x=2+e^2$$

   г) $$\lg(x^2-2x-4)=\lg 11$$

   Тогда
   $$x^2-2x-4=11$$
   $$x^2-2x-15=0$$
   $$D=4+60=64$$
   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 8}{2}$$
   $$x_1=-3,\quad x_2=5$$

3. а) $$\log_{0{,}6}x>2$$

   Так как $$0<0{,}6<1$$, знак неравенства меняется:
   $$x<0{,}6^2=0{,}36$$
   с учётом области определения $$x>0$$ получаем
   $$0<x<0{,}36$$.

   б) $$\lg x\le -2$$

   При $$x>0$$ имеем
   $$x\le 10^{-2}=0{,}01$$
   значит,
   $$0<x\le 0{,}01$$.

   в) $$\ln x\ge -3$$

   При $$x>0$$:
   $$x\ge e^{-3}=\frac{1}{e^3}$$

   г) $$\log_7 x<1$$

   Так как $$7>1$$, знак неравенства сохраняется:
   $$x<7^1=7$$
   и с учётом $$x>0$$ получаем
   $$0<x<7$$.

Ответ

1) а) $$x=a^b$$; б) при $$a>1$$: $$x>c$$, при $$0<a<1$$: $$x<c$$.
2) а) $$31$$; б) $$0{,}0001$$, $$100$$; в) $$2+e^{-2}$$, $$2+e^2$$; г) $$-3$$, $$5$$.
3) а) $$(0;0{,}36)$$; б) $$(0;0{,}01]$$; в) $$\left[\frac{1}{e^3};+\infty\right)$$; г) $$(0;7)$$.