Упр.9 Глава 2 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Сформулируйте признак максимума (минимума) функции.
3) Исследуйте на максимум и минимум функцию:
а) y=x/2-x^4; б) y=2sin(x)+cos(2x);
в) y=x^3-3x; г) y=x-tg(x).

1. Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует.
2. Если при переходе через точку $$x_0$$ производная меняет знак с плюса на минус, то $$x_0$$ — точка максимума функции.
   Если производная меняет знак с минуса на плюс, то $$x_0$$ — точка минимума функции.

3. а) $$y=\frac{x}{2}-x^4$$

   $$y'(x)=\frac12-4x^3$$
   $$\frac12-4x^3=0$$
   $$8x^3=1$$
   $$x=\frac12$$

   При $$x<\frac12$$ имеем $$y'(x)>0$$, а при $$x>\frac12$$ — $$y'(x)<0$$.
   Значит, в точке $$x=\frac12$$ функция имеет максимум.

   б) $$y=2\sin x+\cos 2x$$

   $$y'(x)=2\cos x-2\sin 2x$$
   $$y'(x)=2\cos x-4\sin x\cos x$$
   $$y'(x)=2\cos x(1-2\sin x)$$

   Критические точки:
   $$2\cos x(1-2\sin x)=0$$
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12$$

   Отсюда:
   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   По смене знака производной получаем:
   $$x_{\min}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x_{\min}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$x_{\max}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x_{\max}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

   в) $$y=x^3-3x$$

   $$y'(x)=3x^2-3$$
   $$3x^2-3=0$$
   $$x^2=1$$
   $$x=-1,\; x=1$$

   При $$x<-1$$ и $$x>1$$ производная положительна, а при $$-1<x<1$$ — отрицательна.
   Значит, в точке $$x=-1$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

   г) $$y=x-\tg x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$y'(x)=1-\frac{1}{\cos^2 x}$$
   $$y'(x)=\frac{\cos^2 x-1}{\cos^2 x}=-\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\le 0$$

   Производная не меняет знак, поэтому точек максимума и минимума нет.

Ответ

1) Критические точки — внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
2) При смене знака производной с плюса на минус — максимум, с минуса на плюс — минимум.
3) а) максимум при $$x=\frac12$$; б) максимумы при $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$ и $$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$, минимумы при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$ и $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; в) максимум при $$x=-1$$, минимум при $$x=1$$; г) точек максимума и минимума нет.