Упр.9 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) cos(117°)+cos(63°); б) (sin(70°)-sin(10°))/cos(40°);
в) cos(19?/12)-cos(?/12); г) sin(112°)+sin(248°).
3) Докажите тождество:
а) (sin(?)+sin(3?))/(cos(?)+cos(3?))=tg(2?);
б) (sin(2?)+sin(4?))^2+(cos(2?)+cos(4?))^2=4cos^2(?);
в) (sin(2?)+sin(2?))/(cos(2?)+cos(2?))=tg(?+?);
г) sin(2?)+sin(4?)+sin(6?)=4sin(3?)cos(2?)cos(?).

1. Формулы суммы и разности синусов и косинусов:

   $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

   $$\sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2}$$

   $$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$

   $$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$

2. Вычислим значения:

   а) $$\cos 117^\circ+\cos 63^\circ=2\cos 90^\circ \cos 27^\circ=0.$$

   б) $$\frac{\sin 70^\circ-\sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}=\frac{2\sin 30^\circ \cos 40^\circ}{\cos 40^\circ}=2\cdot \frac12=1.$$

   в) $$\cos \frac{19\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}=-2\sin \frac{5\pi}{6}\sin \frac{3\pi}{4}=-2\cdot \frac12 \cdot \frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   г) $$\sin 112^\circ+\sin 248^\circ=2\sin 180^\circ \cos 68^\circ=0.$$

3. Докажем тождества:

   а) $$\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha}=\frac{2\sin 2\alpha \cos \alpha}{2\cos 2\alpha \cos \alpha}=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\tg 2\alpha.$$

   б) $$\begin{aligned} (\sin 2\alpha+\sin 4\alpha)^2+(\cos 2\alpha+\cos 4\alpha)^2 &= (2\sin 3\alpha \cos \alpha)^2+(2\cos 3\alpha \cos \alpha)^2 \\ &= 4\sin^2 3\alpha \cos^2 \alpha+4\cos^2 3\alpha \cos^2 \alpha \\ &= 4\cos^2 \alpha(\sin^2 3\alpha+\cos^2 3\alpha) \\ &= 4\cos^2 \alpha. \end{aligned}$$

   в) $$\frac{\sin 2\alpha+\sin 2\beta}{\cos 2\alpha+\cos 2\beta} =\frac{2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}{2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)} =\tg(\alpha+\beta).$$

   г) $$\begin{aligned} \sin 2\alpha+\sin 4\alpha+\sin 6\alpha &= (\sin 2\alpha+\sin 6\alpha)+\sin 4\alpha \\ &= 2\sin 4\alpha \cos 2\alpha+\sin 4\alpha \\ &= 2\sin 4\alpha \cos 2\alpha+2\sin 4\alpha \cos 4\alpha \\ &= 2\sin 4\alpha(\cos 2\alpha+\cos 4\alpha) \\ &= 2\sin 4\alpha \cdot 2\cos 3\alpha \cos \alpha \\ &= 4\sin 3\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha. \end{aligned}$$

Ответ

1) $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2}\cos \frac{\alpha+\beta}{2},$$ $$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

2) а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$0$$.

3) Все тождества верны.