Упр.9 Глава 1 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Запишите формулы суммы и разности синусов (косинусов).
- Вычислите, не пользуясь калькулятором или таблицами:
а) $$\cos(117^\circ)+\cos(63^\circ);$$
б) $$\frac{\sin(70^\circ)-\sin(10^\circ)}{\cos(40^\circ)};$$
в) $$\cos(19?/12)-\cos(?/12);$$
г) $$\sin(112^\circ)+\sin(248^\circ).$$ - Докажите тождество:
а) $$\frac{\sin(?)+\sin(3?)}{\cos(?)+\cos(3?)}=\operatorname{tg}(2?);$$
б) $$(\sin(2?)+\sin(4?))^2+(\cos(2?)+\cos(4?))^2=4\cos^2(?);$$
в) $$\frac{\sin(2?)+\sin(2?)}{\cos(2?)+\cos(2?)}=\operatorname{tg}(?+?);$$
г) $$\sin(2?)+\sin(4?)+\sin(6?)=4\sin(3?)\cos(2?)\cos(?).$$
1) Формулы суммы и разности синусов и косинусов:
$$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$$
$$\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}$$
Ход решения
2) Вычислим значения:
а) $$\cos 117^\circ+\cos 63^\circ=2\cos 90^\circ\cos 27^\circ=0.$$
б) $$\frac{\sin 70^\circ-\sin 10^\circ}{\cos 40^\circ}=\frac{2\sin 30^\circ\cos 40^\circ}{\cos 40^\circ}=2\cdot \frac12=1.$$
в) $$\cos \frac{19\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{12}=-2\sin \frac{5\pi}{6}\sin \frac{3\pi}{4}=-2\cdot \frac12\cdot \frac{\sqrt2}{2}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
г) $$\sin 112^\circ+\sin 248^\circ=2\sin 180^\circ\cos 68^\circ=0.$$
3) Докажем тождества:
а) $$\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha}=\frac{2\sin 2\alpha\cos \alpha}{2\cos 2\alpha\cos \alpha}=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\tg 2\alpha.$$
б) $$\begin{aligned} (\sin 2\alpha+\sin 4\alpha)^2+(\cos 2\alpha+\cos 4\alpha)^2 &=(2\sin 3\alpha\cos \alpha)^2+(2\cos 3\alpha\cos \alpha)^2 \\ &=4\cos^2\alpha(\sin^2 3\alpha+\cos^2 3\alpha) \\ &=4\cos^2\alpha. \end{aligned}$$
в) $$\frac{\sin 2\alpha+\sin 2\beta}{\cos 2\alpha+\cos 2\beta} =\frac{2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)}{2\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)} =\tg(\alpha+\beta).$$
г) $$\begin{aligned} \sin 2\alpha+\sin 4\alpha+\sin 6\alpha &=2\sin 3\alpha\cos \alpha+2\sin 3\alpha\cos 3\alpha \\ &=2\sin 3\alpha(\cos \alpha+\cos 3\alpha) \\ &=2\sin 3\alpha\cdot 2\cos 2\alpha\cos \alpha \\ &=4\sin 3\alpha\cos 2\alpha\cos \alpha. \end{aligned}$$
Ответ
1) $$\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2},$$ $$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2},\quad \cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}.$$
2) а) $$0$$; б) $$1$$; в) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$0$$.
3) Все тождества верны.
