Упр.9 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Решите в целых числах уравнения: а) $$13x-7y=6$$; б) $$x!+y!=(x+y)!$$; в) $$27x-9y=15$$; г) $$1!+2!+\dots+x!=y^2$$.
а) $$13x-7y=6.$$
Рассмотрим сравнение по модулю $$7$$:
$$13x\equiv 6 \pmod 7,$$
$$6x\equiv 6 \pmod 7,$$
$$x\equiv 1 \pmod 7.$$
Значит, $$x=7k+1$$, где $$k\in \mathbb{Z}.$$ Тогда
$$7y=13(7k+1)-6=91k+7,$$
$$y=13k+1.$$
Ответ: $$(7k+1;\,13k+1),\ k\in \mathbb{Z}.$$
б) $$x!+y!=(x+y)!.$$
Пусть $$x\le y.$$ Тогда
$$x!+y!=y!\left(1+\frac{x!}{y!}\right)=(x+y)!.$$
Так как $$x\le y,$$ то $$\dfrac{x!}{y!}=\dfrac{1}{(x+1)(x+2)\cdots y},$$ и потому
$$1+\frac{x!}{y!}>1.$$
Следовательно, правая часть должна быть больше $$y!,$$ а это возможно только при $$x=y.$$ Тогда
$$x!+x!=(2x)!,$$
$$2x!=2x!,$$
то есть нужно проверить, при каких $$x$$ выполняется
$$2x!=(2x)!.$$
При $$x=1$$ получаем $$1!+1!=2!=(1+1)!,$$ то есть равенство верно.
При $$x\ge 2$$ левая часть значительно меньше правой, поэтому других решений нет.
Ответ: $$(1;\,1).$$
в) $$27x-9y=15.$$
Разделим уравнение на $$3$$:
$$9x-3y=5.$$
Левая часть делится на $$3,$$ а правая часть $$5$$ на $$3$$ не делится. Значит, целых решений нет.
Ответ: решений нет.
г) $$1!+2!+\dots+x!=y^2.$$
Проверим первые значения $$x$$:
$$x=1:\quad 1!=1,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$
$$x=2:\quad 1!+2!=1+2=3,$$ но $$3$$ не является квадратом целого числа.
$$x=3:\quad 1!+2!+3!=1+2+6=9,\quad y=\pm 3.$$
При $$x\ge 4$$ сумма оканчивается на $$3$$, так как
$$1!+2!+3!+4!=1+2+6+24=33,$$
а все следующие факториалы делятся на $$10,$$ значит последняя цифра суммы не меняется. Квадрат целого числа не может оканчиваться на $$3$$, поэтому при $$x\ge 4$$ решений нет.
Ответ: $$(1;\,1),\ (1;\,-1),\ (3;\,3),\ (3;\,-3).$$
