Упр.89 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=sin(arcsin(x)); б) y=arcsin(sin(x));
в) y=cos(2arccos(x)); г) y=arctg(tg(x)).

Используем свойства обратных тригонометрических функций.

1. $$y=\sin(\arcsin x)=x,$$

   так как $$\arcsin x$$ определена при $$|x|\le 1$$, а её значения лежат в промежутке $$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi}{2}.$$

   График — отрезок прямой $$y=x$$ при $$-1\le x\le 1.$$

2. $$y=\arcsin(\sin x).$$

   Функция $$\arcsin$$ возвращает значение из промежутка $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],$$ поэтому график получается периодическим и на каждом промежутке длины $$2\pi$$ имеет вид ломаной.

   На основном промежутке:

   $$ y= \begin{cases} x, & -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2},\\[4pt] \pi-x, & \frac{\pi}{2}\le x\le \frac{3\pi}{2}, \end{cases} $$

   и далее повторяется с периодом $$2\pi.$$

3. $$y=\cos(2\arccos x).$$

   Положим $$t=\arccos x,$$ тогда $$\cos t=x$$ и

   $$ y=\cos 2t=2\cos^2 t-1=2x^2-1. $$

   Область определения: $$-1\le x\le 1.$$

4. $$y=\arctg(\tg x).$$

   Так как $$\arctg$$ принимает значения только из промежутка $$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то

   $$ y=x,\qquad -\frac{\pi}{2}+ \pi n<x<\frac{\pi}{2}+ \pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   График — участки прямой $$y=x$$ на каждом таком промежутке, с выколотыми концами.

Ответ

а) $$y=x,\ -1\le x\le 1$$;
б) $$y=\arcsin(\sin x)$$ — периодическая ломаная с периодом $$2\pi$$;
в) $$y=2x^2-1,\ -1\le x\le 1$$;
г) $$y=x,\ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$