Упр.88 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$y=\frac{1}{(x-2)^2}+1$$
Это график функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, сдвинутый на $$2$$ единицы вправо и на $$1$$ единицу вверх.
Функция возрастает на промежутке $$(-\infty;2)$$ и убывает на промежутке $$(2;\infty)$$.
Экстремумов функция не имеет.
б) $$y=4|x|-x^2$$
Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Рассмотрим случай $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$ и
$$y=4x-x^2.$$
На этом промежутке функция возрастает при $$0\le x\le 2$$ и убывает при $$x\ge 2$$. По чётности получаем:
$$\text{возрастает на }(-\infty;-2]\text{ и }[0;2],$$
$$\text{убывает на }[-2;0]\text{ и }[2;\infty).$$
Точки максимума:
$$x=-2,\quad y(-2)=4\cdot|-2|-(-2)^2=8-4=4,$$
$$x=2,\quad y(2)=4\cdot2-2^2=8-4=4.$$
Точка минимума:
$$x=0,\quad y(0)=4\cdot0-0^2=0.$$
в) $$y=\frac{1}{(x+1)^3}-2$$
Это график функции $$y=\frac{1}{x^3}$$, сдвинутый на $$1$$ единицу влево и на $$2$$ единицы вниз.
Функция возрастает на промежутке $$(-\infty;-1)$$ и убывает на промежутке $$(-1;\infty)$$.
Экстремумов функция не имеет.
г) $$y=x^2-2|x|$$
Функция чётная, поэтому её график симметричен относительно оси ординат. Рассмотрим случай $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$ и
$$y=x^2-2x.$$
На этом промежутке функция убывает при $$0\le x\le 1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$. По чётности получаем:
$$\text{возрастает на }[-1;0]\text{ и }[1;\infty),$$
$$\text{убывает на }(-\infty;-1]\text{ и }[0;1].$$
Точка максимума:
$$x=0,\quad y(0)=0^2-2\cdot0=0.$$
Точки минимума:
$$x=1,\quad y(1)=1^2-2\cdot1=-1,$$
$$x=-1,\quad y(-1)=(-1)^2-2\cdot|-1|=1-2=-1.$$
Ответ
а) возрастает на $$(-\infty;2)$$, убывает на $$(2;\infty)$$; экстремумов нет.
б) возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;2]$$, убывает на $$[-2;0]$$ и $$[2;\infty)$$; максимумы: $$(-2;4)$$ и $$(2;4)$$, минимум: $$(0;0)$$.
в) возрастает на $$(-\infty;-1)$$, убывает на $$(-1;\infty)$$; экстремумов нет.
г) возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$; максимум: $$(0;0)$$, минимумы: $$(-1;-1)$$ и $$(1;-1)$$.
