Упр.87 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=x^2 и y=x+6; б) y=3/x и y=4(x+1);
в) y=x^4 и y=2x^2+1; г) y=1/x^2 и y=x^2-2?
а) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=x+6$$:
$$x^2=x+6$$
$$x^2-x-6=0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=3$$Тогда
$$y_1=(-2)^2=4,\quad y_2=3+6=9.$$Точки пересечения: $$(-2;4)$$ и $$ (3;9)$$.
б) Найдём общие точки графиков $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=4(x+1)$$:
$$\frac{3}{x}=4(x+1)$$
$$3=4x(x+1)$$
$$4x^2+4x-3=0$$
$$D=16+48=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$
$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{1}{2}$$Тогда
$$y_1=\frac{3}{-\frac{3}{2}}=-2,\quad y_2=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6.$$Точки пересечения: $$\left(-\frac{3}{2};-2\right)$$ и $$\left(\frac{1}{2};6\right)$$.
в) Найдём общие точки графиков $$y=x^4$$ и $$y=2x^2+1$$:
$$x^4=2x^2+1$$
$$x^4-2x^2-1=0$$Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-2t-1=0$$
$$t=1\pm \sqrt{2}$$Так как $$x^2\ge 0$$, подходит только
$$x^2=1+\sqrt{2}$$
$$x=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$$$$y=(1+\sqrt{2})^2=3+2\sqrt{2}.$$
Точки пересечения: $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,3+2\sqrt{2}\right)$$.
г) Найдём общие точки графиков $$y=\frac{1}{x^2}$$ и $$y=x^2-2$$:
$$\frac{1}{x^2}=x^2-2$$
$$1=x^4-2x^2$$
$$x^4-2x^2-1=0$$Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-2t-1=0$$
$$t=1\pm \sqrt{2}$$Подходит только
$$x^2=1+\sqrt{2}$$
$$x=\pm \sqrt{1+\sqrt{2}}$$$$y=x^2-2=1+\sqrt{2}-2=\sqrt{2}-1.$$
Точки пересечения: $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,\sqrt{2}-1\right)$$.
Ответ
а) $$(-2;4),\ (3;9)$$; б) $$\left(-\frac{3}{2};-2\right),\ \left(\frac{1}{2};6\right)$$; в) $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,3+2\sqrt{2}\right)$$; г) $$\left(\pm \sqrt{1+\sqrt{2}};\,\sqrt{2}-1\right)$$.
