Упр.86 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график каждой из функций: а) $$y=\frac{x+1}{|x|}$$; б) $$y=\frac{1}{x^2}+2$$; в) $$y=\frac{|x|-2}{x}$$; г) $$y=\frac{2x^3-1}{x^3}$$.

Подробный ответ

а) При $$x>0$$ имеем

$$y=\frac{x+1}{|x|}=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}.$$

При $$x<0$$ имеем

$$y=\frac{x+1}{|x|}=\frac{x+1}{-x}=-1-\frac{1}{x}.$$

Значит, график состоит из двух ветвей гиперболы с асимптотами $$x=0$$ и $$y=1$$ при $$x>0$$, а при $$x<0$$ — с асимптотами $$x=0$$ и $$y=-1$$.

б) Функция

$$y=\frac{1}{x^2}+2$$

получается из графика $$y=\frac{1}{x^2}$$ сдвигом вверх на $$2$$ единицы. Поэтому асимптоты: $$x=0$$ и $$y=2$$.

в) При $$x>0$$

$$y=\frac{|x|-2}{x}=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}.$$

При $$x<0$$

$$y=\frac{|x|-2}{x}=\frac{-x-2}{x}=-1-\frac{2}{x}.$$

График состоит из двух ветвей гиперболы с асимптотами $$x=0$$, $$y=1$$ и $$y=-1$$.

г)

$$y=\frac{2x^3-1}{x^3}=2-\frac{1}{x^3}.$$

Это график функции $$y=-\frac{1}{x^3}$$, сдвинутый вверх на $$2$$ единицы. Асимптоты: $$x=0$$ и $$y=2$$.

Ответ: графики функций построены как указано выше; во всех случаях вертикальная асимптота $$x=0$$, а горизонтальные асимптоты: для а) $$y=1$$ и $$y=-1$$, для б) $$y=2$$, для в) $$y=1$$ и $$y=-1$$, для г) $$y=2$$.