Упр.86 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Постройте график функции: а) $$y=\left|\{x\}-\frac{1}{2}\right|$$; б) $$y=2^{\log_2 x}$$; в) $$y=2^{\left|\log_2 x\right|}+1$$; г) $$y=\log_x\frac{x}{2}$$.

а) $$y=\left|x-\frac12\right|.$$

Это график модуля, полученный из прямой $$y=x-\frac12$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, вверх. Поэтому

$$y= \begin{cases} \frac12-x, & x<\frac12,\\ x-\frac12, & x\ge \frac12. \end{cases}$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(\frac12,0\right)$$.

б) $$y=2^{\log_2 x}, \quad x>0.$$

Так как $$2^{\log_2 x}=x$$, то

$$y=x,\quad x>0.$$

Это луч прямой $$y=x$$ в первой четверти, начиная с точки $$\left(0,0\right)$$, не включая её.

в) $$y=2^{|\log_2 x|+1}.$$

Рассмотрим два случая:

$$\log_2 x\ge 0 \;\; (x\ge 1), \qquad y=2^{\log_2 x+1}=2x;$$

$$\log_2 x<0 \;\; (0<x<1), \qquad y=2^{-\log_2 x+1}=2\cdot 2^{-\log_2 x}=\frac{2}{x}.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} \dfrac{2}{x}, & 0<x<1,\\[6pt] 2x, & x\ge 1. \end{cases}$$

График состоит из ветви гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$ при $$0<x<1$$ и луча прямой $$y=2x$$ при $$x\ge 1$$. Точка соединения — $$\left(1,2\right)$$.

г) $$y=\log_x \frac{x}{2}.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$y=\frac{\log_2 \frac{x}{2}}{\log_2 x} =\frac{\log_2 x-\log_2 2}{\log_2 x} =\frac{\log_2 x-1}{\log_2 x} =1-\frac{1}{\log_2 x}.$$

Область определения:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

График имеет вертикальную асимптоту $$x=1$$ и проходит через точку $$\left(2,0\right)$$, так как

$$\log_2 \frac{2}{2}=\log_2 1=0.$$

При $$x>1$$ функция возрастает от $$-\infty$$ к $$1$$, а при $$0<x<1$$ принимает значения больше $$1$$.

Ответ

а) $$y=\left|x-\frac12\right|$$;
б) $$y=x,\ x>0$$;
в) $$y=\begin{cases}\dfrac{2}{x}, & 0<x<1,\\[4pt] 2x, & x\ge 1;\end{cases}$$
г) $$y=\log_x \dfrac{x}{2}=1-\dfrac{1}{\log_2 x},\ x>0,\ x\ne 1.$$