Упр.85 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=sin(x)v(cos^2(x))+cos(x)v(sin^2(x));
б) y=v(1-cos^2(x))+sin(x);
в) y=sin^2(vtg(x))+cos^2(x)(vtg(x));
г) y=v(1-sin^2(x))+cos(x).

1. а) $$y=\sin x\sqrt{\cos^2 x}+\cos x\sqrt{\sin^2 x}$$

   Так как $$\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|$$ и $$\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|,$$ то

   $$y=\sin x\,|\cos x|+\cos x\,|\sin x|.$$

   Рассмотрим знаки $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

   если $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0,$$ то $$y=\sin x\cos x+\cos x\sin x=\sin 2x;$$
   если $$\sin x\le 0,\ \cos x\le 0,$$ то $$y=-\sin x(-\cos x)-\cos x(-\sin x)=-\sin 2x;$$
   если знаки разные, то $$y=0.$$

   Значит, график состоит из участков синусоиды $$y=\sin 2x$$ и $$y=-\sin 2x$$ на соответствующих четвертях, а на промежутках, где знаки $$\sin x$$ и $$\cos x$$ разные, функция равна нулю.

2. б) $$y=\sqrt{1-\cos^2 x}+\sin x$$

   Имеем

   $$y=\sqrt{\sin^2 x}+\sin x=|\sin x|+\sin x.$$

   Тогда

   если $$\sin x\ge 0,$$ то $$y=\sin x+\sin x=2\sin x;$$
   если $$\sin x\le 0,$$ то $$y=-\sin x+\sin x=0.$$

   Следовательно, график совпадает с графиком $$y=2\sin x$$ на тех промежутках, где $$\sin x\ge 0,$$ и лежит на оси $$Ox$$ там, где $$\sin x\le 0.$$

3. в) $$y=\sin^2(\sqrt{\tg x})+\cos^2(\sqrt{\tg x})$$

   По тождеству $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ получаем

   $$y=1.$$

   Но выражение $$\sqrt{\tg x}$$ определено только при $$\tg x\ge 0,$$ поэтому

   $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   График — горизонтальные отрезки прямой $$y=1$$ на указанных промежутках области определения.

4. г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}+\cos x$$

   Так как $$\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=|\cos x|,$$ то

   $$y=|\cos x|+\cos x.$$

   Следовательно,

   если $$\cos x\ge 0,$$ то $$y=\cos x+\cos x=2\cos x;$$
   если $$\cos x\le 0,$$ то $$y=-\cos x+\cos x=0.$$

   Значит, график совпадает с графиком $$y=2\cos x$$ на тех промежутках, где $$\cos x\ge 0,$$ и лежит на оси $$Ox$$ там, где $$\cos x\le 0.$$

Ответ

а) $$y=\sin x\,|\cos x|+\cos x\,|\sin x|$$; на участках с одинаковыми знаками $$\sin x$$ и $$\cos x$$: $$y=\pm \sin 2x,$$ при разных знаках: $$y=0$$.
б) $$y=|\sin x|+\sin x$$, то есть $$y=2\sin x$$ при $$\sin x\ge 0$$ и $$y=0$$ при $$\sin x\le 0$$.
в) $$y=1$$ при $$\tg x\ge 0,\ \pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
г) $$y=|\cos x|+\cos x$$, то есть $$y=2\cos x$$ при $$\cos x\ge 0$$ и $$y=0$$ при $$\cos x\le 0$$.