Упр.85 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Постройте график каждой из функций: а) $$y=3x+|x|$$; б) $$y=|-x^2-x+2|$$; в) $$y=2x-|x-3|$$; г) $$y=x^2-4|x|+3$$.
Разобьём каждую функцию на случаи по знаку выражения под модулем.
$$y=3x+|x|$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, значит
$$y=3x+x=4x.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, значит
$$y=3x-x=2x.$$
Следовательно, график состоит из двух лучей прямых $$y=4x$$ и $$y=2x$$, соединённых в точке $$\left(0,0\right)$$.
$$y=\left|-x^2-x+2\right|$$
Найдём нули выражения под модулем:
$$-x^2-x+2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2+x-2=0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x+2)(x-1)=0.$$
Отсюда $$x=-2$$ и $$x=1$$.
Парабола $$y=-x^2-x+2$$ направлена ветвями вниз, поэтому на промежутке $$[-2;1]$$ она неотрицательна, а вне его — отрицательна. Значит,
$$y= \begin{cases} -x^2-x+2, & -2\le x\le 1,\\ x^2+x-2, & x<-2 \text{ или } x>1. \end{cases}$$
График получается отражением отрицательных частей параболы относительно оси $$Ox$$. Ключевые точки: $$(-2,0)$$, $$\left(-\dfrac12,\dfrac94\right)$$, $$\left(1,0\right)$$.
$$y=2x-|x-3|$$
Если $$x\ge 3$$, то $$|x-3|=x-3$$, значит
$$y=2x-(x-3)=x+3.$$
Если $$x<3$$, то $$|x-3|=3-x$$, значит
$$y=2x-(3-x)=3x-3.$$
Итак,
$$y= \begin{cases} 3x-3, & x<3,\\ x+3, & x\ge 3. \end{cases}$$
В точке $$x=3$$ получаем $$y=6$$, значит графики соединяются в точке $$\left(3,6\right)$$.
$$y=x^2-4|x|+3$$
Если $$x\ge 0$$, то $$|x|=x$$, и
$$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$
Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$, и
$$y=x^2+4x+3=(x+2)^2-1.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} x^2+4x+3, & x<0,\\ x^2-4x+3, & x\ge 0. \end{cases}$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$. Его вершины: $$(-2,-1)$$ и $$\left(2,-1\right)$$, а в точке $$\left(0,3\right)$$ график имеет излом.
Ответ: графики построены по указанным кусочным заданиям.
