Упр.85 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Постройте график каждой из функций:
- а) $$y=\sin(x)\sqrt{\cos^2(x)}+\cos(x)\sqrt{\sin^2(x)}$$;
- б) $$y=\sqrt{1-\cos^2(x)}+\sin(x)$$;
- в) $$y=\sin^2\left(\sqrt{\tg(x)}\right)+\cos^2(x)\left(\sqrt{\tg(x)}\right)$$;
- г) $$y=\sqrt{1-\sin^2(x)}+\cos(x)$$.
а) $$y=\sin x\sqrt{\cos^2 x}+\cos x\sqrt{\sin^2 x}=\sin x\cdot|\cos x|+\cos x\cdot|\sin x|.$$
Рассмотрим знаки $$\sin x$$ и $$\cos x$$:
- если $$\sin x\ge 0,\ \cos x\ge 0,$$ то $$y=\sin x\cos x+\cos x\sin x=\sin 2x;$$
- если $$\sin x\le 0,\ \cos x\le 0,$$ то $$y=-\sin x\cos x-\cos x\sin x=-\sin 2x;$$
- если $$\sin x\ge 0,\ \cos x\le 0,$$ или $$\sin x\le 0,\ \cos x\ge 0,$$ то $$y=0.$$
Значит, график состоит из участков синусоиды $$y=\sin 2x$$ и $$y=-\sin 2x$$ на соответствующих промежутках, а на остальных промежутках совпадает с осью $$Ox$$.
б) $$y=\sqrt{1-\cos^2 x}+\sin x=\sqrt{\sin^2 x}+\sin x=|\sin x|+\sin x.$$
Тогда
- при $$\sin x\ge 0$$ имеем $$y=\sin x+\sin x=2\sin x;$$
- при $$\sin x\le 0$$ имеем $$y=-\sin x+\sin x=0.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} 2\sin x, & \sin x\ge 0,\\ 0, & \sin x\le 0. \end{cases}$$
в) $$y=\sin^2\sqrt{\tg x}+\cos^2\sqrt{\tg x}.$$
По тождеству $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ получаем
$$y=1,$$
но только при тех $$x,$$ где выражение определено, то есть при $$\tg x\ge 0.$$ Поэтому
$$y=1,\qquad \pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$y=\sqrt{1-\sin^2 x}+\cos x=\sqrt{\cos^2 x}+\cos x=|\cos x|+\cos x.$$
Тогда
- если $$\cos x\ge 0,$$ то $$y=\cos x+\cos x=2\cos x;$$
- если $$\cos x\le 0,$$ то $$y=-\cos x+\cos x=0.$$
Следовательно,
$$y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x\le 0. \end{cases}$$
Ответ
а) $$y=\sin x|\cos x|+\cos x|\sin x|,$$ то есть кусочно: $$y=\sin 2x,\ -\sin 2x$$ или $$0$$ на соответствующих промежутках;
б) $$y= \begin{cases} 2\sin x, & \sin x\ge 0,\\ 0, & \sin x\le 0; \end{cases}$$
в) $$y=1,\ \pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x\le 0. \end{cases}$$
