Упр.85 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Для каждой функции используем свойства графиков тригонометрических функций.
а) $$y=1+2\tg x$$
Функция $$y=1+2\tg x$$ получается из графика $$y=\tg x$$ растяжением вдоль оси ординат в 2 раза и сдвигом вверх на 1.
Поэтому она возрастает на промежутках
$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Точек максимума и минимума не имеет.
б) $$y=\sin x+1$$
График функции $$y=\sin x+1$$ получается из графика $$y=\sin x$$ сдвигом вверх на 1.
Следовательно, функция возрастает на промежутках
$$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на промежутках
$$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимум достигается при
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y=\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)+1=2.$$
Минимум достигается при
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad y=\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)+1=0.$$
в) $$y=-\tg x$$
Функция $$y=-\tg x$$ получается из графика $$y=\tg x$$ отражением относительно оси абсцисс.
Значит, она убывает на промежутках
$$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Точек максимума и минимума не имеет.
г) $$y=\cos x-1$$
График функции $$y=\cos x-1$$ получается из графика $$y=\cos x$$ сдвигом вниз на 1.
Поэтому функция возрастает на промежутках
$$\left[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на промежутках
$$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимум достигается при
$$x=2\pi n,\quad y=\cos(2\pi n)-1=0.$$
Минимум достигается при
$$x=\pi+2\pi n,\quad y=\cos(\pi+2\pi n)-1=-2.$$
Ответ
а) возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, максимумов и минимумов нет;
б) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; максимум $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, минимум $$0$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$;
в) убывает на $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, максимумов и минимумов нет;
г) возрастает на $$\left[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[2\pi n;\,\pi+2\pi n\right]$$; максимум $$0$$ при $$x=2\pi n$$, минимум $$-2$$ при $$x=\pi+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
