Упр.84 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y={1,5x-1}; б) y=(12+x-x^2)/(x^2-16);
в) y=v(1-cos^2(x))/cos(x); г) y=v(1+2x+x^2)/(x+1).

1. а) $$y=\{1{,}5x-1\}.$$

   Здесь фигурные скобки означают дробную часть числа. Поэтому

   $$y=\{1{,}5x-1\}=\{1{,}5x\}.$$

   График — «пилообразная» функция дробной части с периодом $$\frac{2}{3}$$, сдвинутая по оси $$x$$ на $$\frac{2}{3}$$ относительно графика $$y=\{1{,}5x\}$$. На каждом промежутке

   $$\frac{2k}{3}\le x<\frac{2k+2}{3}, \quad k\in \mathbb{Z},$$

   имеем

   $$y=1{,}5x-1-k.$$

2. б) $$y=\frac{12+x-x^2}{x^2-16}.$$

   Разложим на множители:

   $$ y=\frac{-(x^2-x-12)}{(x-4)(x+4)} =\frac{-(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+4)}. $$

   При $$x\ne 4$$ и $$x\ne -4$$ сокращаем:

   $$ y=-\frac{x+3}{x+4}=-1+\frac{1}{x+4}. $$

   Область определения: $$x\ne \pm 4.$$

   Это гипербола $$y=-1+\frac{1}{x+4}$$ с асимптотами $$x=-4$$ и $$y=-1$$, при этом точка $$x=4$$ выколота.

3. в) $$y=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}.$$

   Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$, то

   $$ y=\frac{\sqrt{\sin^2 x}}{\cos x} =\frac{|\sin x|}{\cos x}. $$

   Следовательно,

   $$ y= \begin{cases} \tg x, & \sin x\ge 0,\\ -\tg x, & \sin x<0. \end{cases} $$

   Область определения: $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

   График состоит из участков $$y=\tg x$$ и $$y=-\tg x$$, в зависимости от знака $$\sin x$$.

4. г) $$y=\frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}.$$

   Имеем

   $$ y=\frac{\sqrt{(x+1)^2}}{x+1} =\frac{|x+1|}{x+1}. $$

   При $$x>-1$$ получаем

   $$y=1,$$

   а при $$x<-1$$

   $$y=-1.$$

   При $$x=-1$$ функция не определена.

   График — две горизонтальные полупрямые: $$y=1$$ при $$x>-1$$ и $$y=-1$$ при $$x<-1$$, с выколотой точкой при $$x=-1$$.

Ответ

а) $$y=\{1{,}5x\}$$;
б) $$y=-1+\frac{1}{x+4},\ x\ne \pm 4$$;
в) $$y=\frac{|\sin x|}{\cos x}$$, $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$;
г) $$y=\frac{|x+1|}{x+1}=\begin{cases}1,& x>-1,\\-1,& x<-1.\end{cases}$$