Упр.84 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график каждой из функций: а) $$y=\{1{,}5x-1\}$$; б) $$y=\frac{12+x-x^2}{x^2-16}$$; в) $$y=\frac{\sqrt{1-\cos^2(x)}}{\cos(x)}$$; г) $$y=\frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\{1{,}5x-1\}.$$

Здесь $$\{\,\cdot\,\}$$ — дробная часть числа. Поэтому график функции получается как график прямой $$y=1{,}5x-1$$, у которой на каждом промежутке длины $$\frac{2}{3}$$ значение «сбрасывается» в отрезок $$[0;1)$$.

Итак, график состоит из одинаковых отрезков, идущих от точки $$\left(\frac{2k}{3},0\right)$$ до точки $$\left(\frac{2k+2}{3},1\right)$$, где $$k\in\mathbb Z$$, причём правые концы не входят.

б) $$y=\frac{12+x-x^2}{x^2-16}.$$

Разложим на множители:

$$y=\frac{-(x^2-x-12)}{(x-4)(x+4)} =\frac{-(x-4)(x+3)}{(x-4)(x+4)}.$$

При $$x\ne 4$$ сокращаем:

$$y=-\frac{x+3}{x+4}=-1+\frac{1}{x+4}.$$

Область определения: $$x\ne -4,\; x\ne 4.$$

График — гипербола $$y=-1+\frac{1}{x+4}$$ с асимптотами $$x=-4$$ и $$y=-1$$, при этом в точке $$x=4$$ есть выколотая точка, так как исходная функция там не определена.

в) $$y=\frac{\sqrt{1-\cos^2 x}}{\cos x}.$$

Так как $$1-\cos^2 x=\sin^2 x$$, то

$$y=\frac{\sqrt{\sin^2 x}}{\cos x}=\frac{|\sin x|}{\cos x}.$$

Следовательно,

$$y= \begin{cases} \tg x, & \sin x\ge 0,\\ -\tg x, & \sin x<0. \end{cases}$$

Область определения: $$\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\; k\in\mathbb Z.$$

График совпадает с графиком $$y=\tg x$$ там, где $$\sin x\ge 0$$, и с графиком $$y=-\tg x$$ там, где $$\sin x<0$$.

г) $$y=\frac{\sqrt{1+2x+x^2}}{x+1}.$$

Подкоренное выражение:

$$1+2x+x^2=(x+1)^2.$$

Тогда

$$y=\frac{\sqrt{(x+1)^2}}{x+1}=\frac{|x+1|}{x+1}.$$