Упр.84 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$y=3\sin x-1$$

Функция $$y=\sin x$$ возрастает на промежутках $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на промежутках $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

Так как множитель $$3>0$$, промежутки возрастания и убывания не меняются. Сдвиг на $$1$$ вниз не влияет на них.

Следовательно, $$y=3\sin x-1$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$.

Максимум достигается при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=3\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1=3\cdot 1-1=2.$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=3\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1=3\cdot(-1)-1=-4.$$

б) $$y=-2\cos x+1$$

Функция $$y=\cos x$$ убывает на $$[0+2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$ и возрастает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$.

Множитель $$-2<0$$ меняет промежутки возрастания и убывания местами, а сдвиг на $$1$$ вверх на них не влияет.

Значит, $$y=-2\cos x+1$$ возрастает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$ и убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$.

Максимум достигается при $$x=\pi+2\pi n$$:

$$y=-2\cos(\pi+2\pi n)+1=-2\cdot(-1)+1=3.$$

Минимум достигается при $$x=2\pi n$$:

$$y=-2\cos(2\pi n)+1=-2\cdot 1+1=-1.$$

в) $$y=2\cos x+1$$

Так как $$2>0$$, промежутки возрастания и убывания такие же, как у функции $$y=\cos x$$. Сдвиг на $$1$$ вверх их не меняет.

Следовательно, $$y=2\cos x+1$$ убывает на $$[0+2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$ и возрастает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$.

Максимум достигается при $$x=2\pi n$$:

$$y=2\cos(2\pi n)+1=2\cdot 1+1=3.$$

Минимум достигается при $$x=\pi+2\pi n$$:

$$y=2\cos(\pi+2\pi n)+1=2\cdot(-1)+1=-1.$$

г) $$y=0{,}5\sin x-1{,}5$$

Множитель $$0{,}5>0$$ не меняет промежутки возрастания и убывания функции $$y=\sin x$$, а сдвиг на $$1{,}5$$ вниз их не меняет.

Значит, $$y=0{,}5\sin x-1{,}5$$ возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$.

Максимум достигается при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=0{,}5\sin\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1{,}5=0{,}5\cdot 1-1{,}5=-1.$$

Минимум достигается при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$:

$$y=0{,}5\sin\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)-1{,}5=0{,}5\cdot(-1)-1{,}5=-2.$$

Ответ

а) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; максимум $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, минимум $$-4$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$.

б) возрастает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$, убывает на $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$; максимум $$3$$ при $$x=\pi+2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=2\pi n$$.

в) убывает на $$[0+2\pi n;\,\pi+2\pi n]$$, возрастает на $$[\pi+2\pi n;\,2\pi+2\pi n]$$; максимум $$3$$ при $$x=2\pi n$$, минимум $$-1$$ при $$x=\pi+2\pi n$$.

г) возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\,\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$; максимум $$-1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, минимум $$-2$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.