Упр.83 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=x/(x-2); б) y=(x^2+1)/x;
в) y=x^2/(|x|+1); г) y=(x^2+4)/(x^2-9).

а) $$y=\frac{x}{x-2}$$

Вертикальная асимптота определяется из условия обращения знаменателя в нуль:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2.$$

Найдём горизонтальную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1-\frac{2}{x}}=1.$$

Значит, горизонтальная асимптота:

$$y=1.$$

б) $$y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$$

При $$x=0$$ функция не определена, значит, есть вертикальная асимптота:

$$x=0.$$

Найдём наклонную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.$$

Следовательно, наклонная асимптота:

$$y=x.$$

в) $$y=\frac{x^2}{|x|+1}$$

Рассмотрим поведение функции при $$x\to+\infty$$ и $$x\to-\infty$$.

При $$x\to+\infty$$ имеем $$|x|=x$$, поэтому

$$\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-x\right)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x+1}=-1,$$

значит, асимптота:

$$y=x-1.$$

При $$x\to-\infty$$ имеем $$|x|=-x$$, поэтому

$$\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x^2}{-x+1}+x\right)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{1-x}=-1,$$

значит, асимптота:

$$y=-x-1.$$

г) $$y=\frac{x^2+4}{x^2-9}$$

Вертикальные асимптоты находятся из уравнения знаменателя:

$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$

Найдём горизонтальную асимптоту:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-9}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{9}{x^2}}=1.$$

Следовательно, горизонтальная асимптота:

$$y=1.$$

Ответ

а) $$x=2,\ y=1.$$

б) $$x=0,\ y=x.$$

в) $$y=x-1,\ y=-x-1.$$

г) $$x=-3,\ x=3,\ y=1.$$