Упр.82 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Исследуйте функцию и постройте её график: а) $$y=3x-5$$; б) $$y=2x^2-7x+3$$; в) $$y=2-\frac{1}{4}x$$; г) $$y=12-4x-x^2$$.
а) $$y=3x-5$$
$$y'(x)=3>0,$$ значит, функция возрастает на всей области определения.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Найдём нули и знак функции:
$$3x-5=0,\quad x=\frac{5}{3}.$$
Тогда $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac{5}{3};+\infty\right),$$ а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;\frac{5}{3}\right).$$
При $$x=0$$ имеем $$y=-5.$$ Для построения графика достаточно отметить точки $$\left(0;-5\right)$$ и $$\left(\frac{5}{3};0\right)$$ и провести через них прямую.
б) $$y=2x^2-7x+3$$
$$y'(x)=4x-7.$$
$$4x-7=0,\quad x=\frac{7}{4}.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола ветвями вверх, значит в точке $$x=\frac{7}{4}$$ достигается минимум.
$$y\!\left(\frac{7}{4}\right)=2\cdot\frac{49}{16}-7\cdot\frac{7}{4}+3=\frac{49}{8}-\frac{49}{4}+3=-\frac{25}{8}.$$
Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=\left[-\frac{25}{8};+\infty\right).$$
Функция убывает на $$(-\infty;\frac{7}{4}]$$ и возрастает на $$[\frac{7}{4};+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Найдём нули функции:
$$2x^2-7x+3=0,$$
$$D=49-24=25,$$
$$x_{1,2}=\frac{7\pm5}{4},\quad x_1=\frac12,\quad x_2=3.$$
Тогда $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;\frac12)\cup(3;+\infty),$$ а $$y<0$$ при $$x\in\left(\frac12;3\right).$$
При $$x=0$$ имеем $$y=3.$$ Для построения графика удобно отметить вершину $$\left(\frac74;-\frac{25}{8}\right)$$ и точки пересечения с осями $$\left(\frac12;0\right), \left(3;0\right), (0;3).$$
в) $$y=2-\frac14x$$
$$y'(x)=-\frac14<0,$$ значит, функция убывает на всей области определения.
$$2-\frac14x=0,\quad \frac14x=2,\quad x=8.$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Тогда $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;8),$$ а $$y<0$$ при $$x\in(8;+\infty).$$
При $$x=0$$ имеем $$y=2.$$ Для построения графика достаточно точек $$\left(0;2\right)$$ и $$\left(8;0\right).$$
г) $$y=12-4x-x^2$$
$$y'(x)=-4-2x.$$
$$-4-2x=0,\quad x=-2.$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ отрицателен, парабола ветвями вниз, значит в точке $$x=-2$$ достигается максимум.
$$y(-2)=12-4\cdot(-2)-(-2)^2=12+8-4=16.$$
Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;16].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и убывает на $$[-2;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Найдём нули функции:
$$12-4x-x^2=0,$$
$$x^2+4x-12=0,$$
$$D=16+48=64,$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{2},\quad x_1=-6,\quad x_2=2.$$
Тогда $$y>0$$ при $$x\in(-6;2),$$ а $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-6)\cup(2;+\infty).$$
При $$x=0$$ имеем $$y=12.$$ Для построения графика удобно отметить вершину $$(-2;16)$$ и точки пересечения с осями $$(-6;0), (2;0), (0;12).$$
