Упр.80 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите промежутки знакопостоянства функции: а) $$y=\frac{x-1}{3x}$$; б) $$y=\frac{x^2-4x-5}{9-x^2}$$; в) $$y=1-\frac{2x-3}{5-x}$$; г) $$y=2x^2-5x+2$$.

Исследуем знак каждой функции, разложив числитель и знаменатель на множители и учитывая точки, в которых функция не определена или равна нулю.

а)

$$y=\frac{x-1}{3x}$$

Критические точки: $$x=0$$ — знаменатель равен нулю, $$x=1$$ — числитель равен нулю.

Знак дроби:

$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(0;1).$$

б)

$$y=\frac{x^2-4x-5}{9-x^2}=\frac{(x-5)(x+1)}{(3-x)(3+x)}=-\frac{(x-5)(x+1)}{(x-3)(x+3)}$$

Критические точки: $$x=-3,\,-1,\,3,\,5.$$

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(3;5),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty).$$

в)

$$y=1-\frac{2x-3}{5-x}=\frac{5-x-(2x-3)}{5-x}=\frac{8-3x}{5-x}$$

Критические точки: $$x=\frac{8}{3}$$ — числитель равен нулю, $$x=5$$ — знаменатель равен нулю.

Знак функции:

$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(\frac{8}{3};5).$$

г)

$$y=2x^2-5x+2$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\quad x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$

Тогда

$$y=2\left(x-\frac12\right)(x-2).$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$y>0 \text{ при } x\in(-\infty;\frac12)\cup(2;+\infty),$$

$$y<0 \text{ при } x\in(\frac12;2).$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } y>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(1;+\infty),\quad y<0 \text{ на } (0;1);\\ &\text{б) } y>0 \text{ на } (-3;-1)\cup(3;5),\quad y<0 \text{ на } (-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty);\\ &\text{в) } y>0 \text{ на } (-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty),\quad y<0 \text{ на } (\frac{8}{3};5);\\ &\text{г) } y>0 \text{ на } (-\infty;\frac12)\cup(2;+\infty),\quad y<0 \text{ на } (\frac12;2). \end{aligned}$$