Упр.80 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что график любой дробно-линейной функции $$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$ ($$c\ne0$$ и $$ad-bc\ne0$$) может быть получен из графика $$y=\frac{k}{x}$$ параллельным переносом. Укажите коэффициент $$k$$.

Преобразуем дробно-линейную функцию:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a\left(x+\frac{b}{a}\right)}{c\left(x+\frac{d}{c}\right)}$$

Удобнее выделить постоянную часть в числителе и знаменателе:

$$y=\frac{a}{c}\cdot \frac{x+\frac{b}{a}}{x+\frac{d}{c}}$$

Представим числитель через знаменатель:

$$x+\frac{b}{a}=\left(x+\frac{d}{c}\right)+\left(\frac{b}{a}-\frac{d}{c}\right)$$

Тогда

$$y=\frac{a}{c}\left(1+\frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}\right) =\frac{a}{c}+\frac{a}{c}\cdot \frac{\frac{b}{a}-\frac{d}{c}}{x+\frac{d}{c}}$$

Следовательно, график функции получается из графика $$y=\frac{k}{x}$$ параллельным переносом: сначала на $$\left(-\frac{d}{c},\,\frac{a}{c}\right)$$, а коэффициент $$k$$ равен

$$k=\frac{a}{c}\left(\frac{b}{a}-\frac{d}{c}\right)=\frac{bc-ad}{c^2}.$$

Ответ: $$k=\frac{bc-ad}{c^2}$$.