Упр.80 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) y=(x-1)/(3x); б) y=(x^2-4x-5)/(9-x^2);
в) y=1-(2x-3)/(5-x); г) y=2x^2-5x+2.

а) $$y=\frac{x-1}{3x}$$

Найдём нули числителя и знаменателя: $$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$ $$3x=0 \Rightarrow x=0.$$

Рассмотрим знаки на промежутках $$(-\infty;0),\ (0;1),\ (1;+\infty).$$

Тогда

$$y>0 \text{ на } (-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$

$$y<0 \text{ на } (0;1).$$

б) $$y=\frac{x^2-4x-5}{9-x^2}$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1),$$

$$9-x^2=(3-x)(3+x)=-(x-3)(x+3).$$

Тогда

$$y=-\frac{(x-5)(x+1)}{(x-3)(x+3)}.$$

Критические точки: $$x=-3,\ -1,\ 3,\ 5.$$

По знакам на промежутках получаем:

$$y>0 \text{ на } (-3;-1)\cup(3;5),$$

$$y<0 \text{ на } (-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty).$$

в) $$y=1-\frac{2x-3}{5-x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$y=\frac{5-x-(2x-3)}{5-x}=\frac{8-3x}{5-x}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

$$y=\frac{3x-8}{x-5}.$$

Критические точки: $$x=\frac{8}{3},\ 5.$$

Тогда

$$y>0 \text{ на } (-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty),$$

$$y<0 \text{ на } (\frac{8}{3};5).$$

г) $$y=2x^2-5x+2$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9,$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm3}{2\cdot2}.$$

Отсюда

$$x_1=\frac12,\quad x_2=2.$$

Так как старший коэффициент положителен, то

$$y>0 \text{ на } (-\infty;\frac12)\cup(2;+\infty),$$

$$y<0 \text{ на } (\frac12;2).$$

Ответ

а) $$y>0$$ на $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty),$$ $$y<0$$ на $$(0;1).$$

б) $$y>0$$ на $$(-3;-1)\cup(3;5),$$ $$y<0$$ на $$(-\infty;-3)\cup(-1;3)\cup(5;+\infty).$$

в) $$y>0$$ на $$(-\infty;\frac{8}{3})\cup(5;+\infty),$$ $$y<0$$ на $$(\frac{8}{3};5).$$

г) $$y>0$$ на $$(-\infty;\frac12)\cup(2;+\infty),$$ $$y<0$$ на $$(\frac12;2).$$